Simple Search

Query:

Enter a query and click »Search«...

Format:

Display: entries per page entries

JFM 40.0393.01
Hellinger, E.
Neue Begründung der Theorie quadratischer Formen von unendlichvielen Veränderlichen. (German)
[J] J. für Math. 136, 210-271 (1909); auch sep. Habilitationsschrift Marburg, 62 S. (1909). ISSN 0075-4102; ISSN 1435-5345/e

Die vorliegende Arbeit entwickelt die Theorie der beschränkten quadratischen Formen unendlichvieler Veränderlicher (Analogen der Hauptachsentransformation endlicher Formen) nach einer Methode, die ihrem Wesen nach unabhängig von der Anzahl und Art der unabhängigen Variablen ist, die also insbesondere den Grenzprozess vom algebraischen Gebiet aus vermeidet, mit dem Hilbert in seiner 4. Mitt. (s. F. d. M. 37, 351, 1906, JFM 37.0351.03, JFM 37.0351.04) jene Theorie ursprünglich begründet hat.\par Die Invarianten der gegebenen Form $K(x)$ gegenüber orthogonalen Transformationen der unendlichvielen Variablen $x_p$ werden genau wie in der Algebra aus der Betrachtung der mit dem Parameter $\lambda$ gebildeten Formenschar $$(1)\quad K(x) -\lambda E(x) = \sum^\infty_{p,q=1} k_{pq}x_px_q -\lambda\sum^\infty_{p=1}x^2_p,$$ bezw. der zugehörigen unendlichvielen linearen Gleichungen gewonnen. Der erste Schritt (Kap. 1) ist, analog bekannten Verfahren bei stetigen Integralgleichungen, dass als ``Eigenwerte'' von $K(x)$ solche Werte $\lambda$ definiert werden, für die die zu (1) gehörigen homogenen Gleichungen $$(2)\quad \sum^\infty_{q=1}k_{pq}x_q-\lambda x_p=0 \quad (p=1,2,\dots )$$ eine Lösung $x_p = l_p$ von konvergenter Quadratsumme $\sum^\infty_{p=1}l^2_p =1$ haben. Auf Grund der Bemerkung, dass die Differenz $K(x)-\lambda L(x)^2$ die Werte $l_p$ nicht mehr zur ``Eigenlösung'' (dem Eigenwert $\lambda$) hat, findet man durch Subtraktion der Quadratsumme von abzählbar vielen solchen Quadraten eine Restform, die ausser $\lambda=0$ {\it keinen} Eigenwert mehr besitzt.\par Für das vorliegende Problem charakteristisch ist nun die Ausdehnung dieses Verfahrens zur Gewinnung weiterer Invarianten im Kap. II. Das sind solche {\it Intervalle} der $\lambda$-Achse, für die die Gleichungen (2) Lösungen $x_p = \varphi_p(\lambda)$ mit konvergenter Quadratsumme der Integrale $\sum^\infty_{p=1}\left(\int^\lambda_0\varphi_p(\lambda)d\lambda\right)^2$ besitzen; um unnötige Konvergenzschwierigkeiten zu vermeiden, werden an Stelle dieser $\varphi_p(\lambda)$ durchweg ihre unbestimmten Integrale $\varrho_p(\lambda)$ betrachtet, und es wird demnach unter Verwendung des {\it Stieltjes}schen Integralbegriffes nach Lösungen von $$(3)\quad \sum^\infty_{q=1}k_{pq}\varrho_q(\lambda)-\int^\lambda_0 \lambda d\varrho_p(\lambda)=0\quad (p=1,2,\dots)$$ gefragt, deren Quadratsumme $\varrho_0(\lambda) =\sum^\infty_{p=1}\varrho_p(\lambda)^2$ eine stetige Funktion von $\lambda$ ist; als kurzer naheliegender Ausdruck dieses Sachverhaltes wird gesagt, dass die ``Differentiale'' $d\varrho_p(\lambda)$ formal die Gleichungen (2) befriedigen, dass sie ``Differentialeigenlösungen'' von $K(x)$ sind. Die Gesamtheit der Stellen, an denen es solche nicht identisch verschwindenden Differentiallösungen gibt, heisst das Streckenspektrum von $K(x)$. Nach eingehenderem Studium insbesondere der Orthogonalitätseigenschaften dieser Differentiallösungen ergibt sich nun, dass die Differenz $$K(x)-\int^{+\infty}_{-\infty}\lambda\ \frac{\left(d\sum^\infty_{p=1}\varrho_p(\lambda)x_p\right)^2} {d\varrho_0(\lambda)}\,,$$ (wobei der in der Dissert des Verf. (s. F. d. M. 38, 153, 1907, JFM 38.0153.01) aufgestellte Integralbegriff wesentlich zur Verwendung kommt) die $d\varrho_p(\lambda)$ nicht mehr zu Differentiallösungen hat. Durch Subtraktion höchstens abzählbar vieler solcher Integrale entsteht dann eine quadratische Form ohne jedes Streckenspektrum; damit ist die kanonische Darstellung von $K(x)$ als Summe von Quadraten der Eigenformen $\lambda\cdot L(x)^2$ und von Integralen über die Bestandteile des Streckenspektrums gewonnen, wenn noch gezeigt wird, dass eine Form ohne Eigenwert (ausser $\lambda = 0$) und ohne Streckenspektrum -- wie der zunächst verbleibende Rest -- identisch verschwindet.\par Den Beweis dieses Fundamentalsatzes gibt Kap. III. Zunächst wird nach einer von {\it E. Hilb} (s. F. d. M. 39, 408, 1908, JFM 39.0408.02) angegebenen Methode die beschränkte reziproke Form $\text{K}(\lambda;x)$ zu $K(x)-\lambda(x)$ gebildet, die für alle nichtreellen Werte von $\lambda$ als einwertige reguläre analytische Funktion von $\lambda$ existiert; nur längs der reellen Achse kann und muss sie Singularitäten besitzen, und eben diese Singularitäten stellen Punkt- und Streckenspektrum dar (die Pole sind die Eigenwerte, die Verzweigungsschnitte und singulären Linien das Streckenspektrum). Im einzelnen gestaltet sich das so, dass $\text{K}(\lambda+i\mu; x)$ bei Annäherung von $\lambda+i\mu$ an die reelle Achse nicht mehr beschränkt bleibt, wohl aber das parallel der reellen Achse erstreckte Integral $\int^\lambda_0\{\text{K}(\lambda +i\mu;x)- \text{K}(\lambda- i\mu; x)\} d\lambda$, des Sprunges von K. Die so entstehende, von $\lambda$ abhängige quadratische Form ist als Funktion von $\lambda$ monoton; ihre Sprungstellen sind die Eigenwerte von $\lambda$ (die Grösse des Sprunges liefert die zugehörigen Eigenlösungen), die Intervalle stetigen Wachstums das Streckenspektrum (ihre Werte daselbst liefern die zusammengehörigen Differentiallösungen).
(Data of JFM: JFM 40.0393.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Toeplitz, Dr. (Göttingen)]

Citations: JFM 37.0351.03; JFM 37.0351.04; JFM 38.0153.01; JFM 39.0408.02

Comment on this Item PDF MathML XML ASCII DVI PS BibTeX Online Ordering Article Article Journal Journal

	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

Simple Search

Zentralblatt MATH Berlin [Germany]