Simple Search

Query:

Enter a query and click »Search«...

Format:

Display: entries per page entries

JFM 40.0352.02
Birkhoff, G. D.
Singular points ot ordinary linear differential equations. (English)
[J] American M. S. Trans. 10, 436-470 (1909). ISSN 0002-9947; ISSN 1088-6850/e

Es sei $$(1)\quad \frac{dy_i}{dx}=\sum_{j=1}^n a_{ij}(x)y_j\ (i=1,2,\dots,n)$$ ein System von $n$ totalen linearen Differentialgleichungen erster Ordnung, in welchem für $\vert x\vert >R$ $$(2)\quad a_{ij}(x)=a_{ij}x^q+a_{ij}^{(1)}x^{q-1}+\cdots+a_{ij}^{(q)}+a_{ij}^{(q+1)}\frac{1}{x}+\cdots(i,j=1,2,\dots,n)$$ und $q$ eine ganze Zahl ist. Verf. untersucht in der vorliegenden Arbeit die Natur der Lösungen von (1) in der Umgebung des Punktes $x=\infty$, welcher als singulärer Punkt des Systems (1) angenommen wird, so dass $q+1$ ist; die Zahl $q+1$ wird nach {\it Poincaré} (Acta Math. 8, 305, 1886) der {\it Rang} des Systems (1) bei $x=\infty$ genannt. Die $n$ Wurzeln $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)$ der {\it charakteristischen Gleichung} $$\vert a_{ij}-\delta_{ij}\alpha\vert =0 (\delta_{ij}=0 (i\neq j), \delta_{ii}=1)$$ werden voneinander verschieden angenommen und sollen sich im Falle $q=-1$ nicht um ganze Zahlen unterscheiden (der allgemeine Fall soll später behandelt werden). Durch eine geeignete lineare Transformation $$\overline{y_i}=\sum_{j=1}^n \lambda_{ij}(x)y_j,$$ worin die Funktionen $\lambda_{ij}(x)$ in $x=\infty$ analytisch sind oder daselbst einen Pol besitzen, wird das System (1) in ein System $(\overline{1})$ mit Koeffizienten $\overline{a}_{ij}(x)$ von derselben Form (2) transformiert, nur dass $\overline{q}$ nicht notwendig gleich $q$ ist; ein solches System $(\overline{1})$ wird dem System (1) bei $x=\infty$ äquivalent genannt.\par Im ersten Teile der Arbeit wird die Bestimmung des einfachsten Differentialgleichungssystems durchgeführt, welches mit (1) bei $x=\infty$ äquivalent ist. Zu diesem Zwecke wird in \S\,1 ein wichtiges Lemma über analytische Funktionen aufgestellt und bewiesen. Die Anwendung dieses Lemmas in \S\,2 zeigt, dass immer ein dem System (1) bei $x=\infty$ äquivalentes kanonisches System von der Form $$x\frac{dy_i}{dx}=\sum_{j=1}^n P_{ij}(x)y_j\ (i=1,2,\dots,n)$$ existiert, in welchem die $P_{ij}(x)$ Polynome sind. In \S\,3 wird gezeigt, dass der Rang dieses kanonischen Systems bei $x=\infty$ gleich $q$ angenommen werden kann, so dass der Grad der Polynome $P_{ij}(x)$ nicht grösser als $q+1$ ist.\par Die Bedeutung dieser Resultate wird durch Betrachtung des Falles eines regulären singulären Punktes $(q=-1)$ erläutert. Das zu (1) äquivalente kanonische System lautet dann in der einfachsten Form (\S\,3): $$x\frac{dY_1}{dx}=\alpha_1Y_1,\ x\frac{dY_2}{dx}=\alpha_2 Y_2,\dots,x\frac{dY_n}{dx}=\alpha_nY_n;$$ ein Fundamentalsystem von Lösungen desselben ist: $$Y_i^{(j)}=\delta_{ij}x^{a_j}(i,j=1,2,\dots,n; \delta_{ij}=0(i\neq j),\delta_{ii}=1).$$ Die Lösungen dieses Systems sind aber mit denen von (1) durch eine Relation $$y_i=\sum_{j=1}^n \lambda_{jj}(x)Y_j\ (i=1,2,\dots,n)$$ verbunden, worin die $\lambda_{ij}(x)$ in $x=\infty$ analytisch sind (der Fall eines Poles kann leicht ausgeschlossen werden). Daraus folgt, dass das System (1) ein Fundamentalsystem von Lösungen von der Form $$y_i^{(j)}=\sum_{k=1}^n \lambda_{ik}(x)Y_k^{(j)}=\lambda_{ij}(x)x^{a_j}\ (i,j=1,2,\dots,n)$$ besitzt. Das ist das Fundamentaltheorem für einen regulären singulären Punkt ({\it Sauvage}, Ann. de l'Éc. Norm. (3) 3, 392, 1886). Die Lösungen des zu (1) bei $x=\infty$ äquivalenten kanonischen Systems spielen nun im Falle eines irregulären singulären Punktes $(q\geqq 0)$ dieselbe Rolle wie in dem soeben betrachteten Falle.\par Im \S\,4 werden die Lösungen des Systems (1) im Anschluss an die Arbeiten von {\it Poincaré} (American J. 7, 203-258, 1885) und {\it Horn} (Math. Ann. 50, 525-556, 1897) für $q\geqq 0$ durch verallgemeinerte Laplacesche Integrale dargestellt. Diese Integrale werden in \S\, 5 angewendet, um die asymptotische Natur der Lösungen des zu (1) bei $x=\infty$ äquivalenten kanonischen Systems in gewissen Sektoren der $x$-Ebene zu ermitteln; die asymptotische Form der Lösungen des Systems (1) in denselben Sektoren ist die unmittelbare Folge ({\it Horn} (J. für Math. 133, 19-67, 1907) benutzt zu demselben Zweck die Methode der sukzessiven Approximationen). -- In \S\,6 wird eine {\it Riemann}sche Charakterisierung der Lösungen des kanonischen Systems in der Umgebung von $x=\infty$ gegeben und auf die Lösungen des Systems (1) ausgedehnt; es ergibt sich, dass die Zahl der charakteristischen Konstanten in den Lösungen dieselbe ist wie die Zahl der willkürlichen Konstanten des kanonischen Systems. Diese, Charakterisierung macht die Verallgemeinerung des {\it Riemann}schen Problems auf den Fall wahrscheinlich, dass die singulären Punkte des Differentialgleichungssystems nicht regulär sind. Die Formulierung desselben, sowie eine Abzahlung der Konstanten wird in \S\,7 gegeben.
(Data of JFM: JFM 40.0352.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Wallenberg, Prof. (Berlin)]

Comment on this Item PDF MathML XML ASCII DVI PS BibTeX Online Ordering Article Journal

	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

Simple Search

Zentralblatt MATH Berlin [Germany]