Simple Search

Query:

Enter a query and click »Search«...

Format:

Display: entries per page entries

JFM 40.0193.02
Cartan, E.
Les groupes de transformations continus, infinis, simples. (French)
[J] Ann. de l'Éc. Norm. (3) 26, 93-161 (1909). ISSN 0012-9593

Die Arbeit bringt die Beweise für eine Reihe sehr wichtiger, vom Verf. schon früher (F. d. M. 38, 194, 1907, JFM 38.0194.01) mitgeteilter Sätze. In Kap. I wird die lineare homogene Gruppe $\varGamma$ untersucht, durch die eine unendliche Gruppe $G$ des $R_n$ die Linienelemente eines festgehaltenen Punktes von allgemeiner Lage transformiert. Es ergibt sich eine Einteilung der linearen homogenen Gruppen in involutive, semiinvolutive und die übrigen. Die Gruppe $\varGamma$ kann nur einer der beiden ersten Klassen angehören. In Kap. V werden die semiinvolutiven linearen homogenen Gruppen in $n$ Veränderlichen bestimmt, die keine ebene Mannigfaltigkeit invariant lassen. Es sind nur vier: die allgemeine und die spezielle lineare homogene Gruppe und für gerades $n$ die beiden Gruppen, die den Ausdruck $x_1dx_2-x_2dx_1+\cdots+x_{n-1}dx_n-x_ndx_{n-1}$ entweder invariant lassen oder bis auf einen konstanten Faktor reproduzieren. Auf Grund dieses Satzes wird in Kap. II bewiesen, dass für die Gruppe $\varGamma$, sobald $G$ primitiv ist, nur fünf Möglichkeiten vorhanden sind, und in Kap. III, dass $G$ eine der folgenden Gruppen ist: Die Gruppe aller Punkttransformationen. Die Gruppe, die alle Volumina invariant lässt oder diese proportional ändert. Die Gruppe, die, $n$ gerade und $> 2$ angenommen, den Ausdruck $dx_1\delta x_2 - dx_2\delta x_1+\cdots+ dx_{n-1}\delta x_n-dx_n\delta x_{n-1}$ entweder invariant lässt oder ihn bis auf einen konstanten Faktor reproduziert. Die Gruppe, die bei ungeradem $n$ durch eine {\it Pfaff}sche Gleichung von allgemeiner Beschaffenheit definiert ist. Der Verf. bestimmt, nebenbei bemerkt, auch alle endlichen Gruppen, für die $\varGamma$ eine jener fünf Formen hat. Die Bestimmung der hier behandelten Gruppen ist zum Teil schon von {\it Lie} selbst geleistet; aber auch die von {\it Lie} nicht behandelten Fälle würden sich nach {\it Lie}s Methoden mindestens ebenso leicht erledigen lassen wie hier. Nachdem alle primitiven unendlichen Gruppen gefunden sind, kennt man die Zusammensetzungen aller transitiven einfachen unendlichen Gruppen: einfach sind offenbar nur vier unter den aufgezählten sechs Gruppen. In Kap. IV werden dann noch die Zusammensetzungen aller intransitiven einfachen unendlichen Gruppen bestimmt. Für jede solche Zusammensetzung erhält man einen Repräsentanten, wenn man entweder eine einfach transitive endliche Gruppe oder eine primitive unendliche Gruppe nimmt und die willkürlichen Elemente der Gruppe von $p$ neuen invarianten Veränderlichen abhängig sein lässt. Hat man $p$ gewählt, so liefert jede solche Gruppe, wie der Verf. zeigt, nur {\it eine} intransitive einfache unendliche Gruppe. Ausgenommen ist der Fall der eingliedrigen einfach transitiven Gruppe. Diese liefert die unendliche Gruppe $G$: $$u_1'=u_1,\dots,u_p'=u_p,\ x'=x+f(u_1,\dots,u_p),$$ wo $f$ eine willkürliche Funktion ist. $G$ enthält zwar nur invariante Untergruppen, die alle durch lineare homogene partielle Differentialgleichungen für $f$ definiert sind. Aber man kann $G$ und ebenso gewisse seiner Untergruppen als {\it uneigentlich einfach} bezeichnen. Eine Untergruppe $G_1$, von $G$ heisst nämlich uneigentlich einfach, wenn eine Untergruppe $G_2$, von $G_1$ eine solche Untergruppe $G_3$ enthält, dass $G_2$, sobald man $G_3$ der identischen Transformation entsprechen lässt, eine zu $G_1$ holoedrisch isomorphe Gruppe liefert. Der Verf. gibt hierfür ein Beispiel.
(Data of JFM: JFM 40.0193.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Engel, Prof. (Greifswald)]

Citations: JFM 38.0194.01

Comment on this Item PDF MathML XML ASCII DVI PS BibTeX Online Ordering Article Article Journal

	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

Simple Search

Zentralblatt MATH Berlin [Germany]