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JFM 38.0454.01
Koebe, P.
Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. (German)
[J] Gött. Nachr., 191-210 (1907).

Ist $y(x)$ irgendeine analytische Funktion, $F$ die zu dieser Funktion gehörende {\it Riemann}sche Fläche, so gibt es eine relativ zur Fläche $F$ überall mit dem Charakter einer rationalen Funktion von $x$ und $y$ erklärbare Grö\ss e $t=t(x,y)$, welche so beschaffen ist, da\ss\ $x(t)$ und $y(t)$ eindeutige lineare automorphe Funktionen sind, deren Existenzbereich entweder durch die ganze Ebene, einschlie\ss lich des unendlich fernen Punktes, oder durch die ganze ausschlie\ss lich des unendlich fernen Punktes, oder und zwar im allgemeinen durch die Fläche eines endlichen Kreises gebildet wird. Desgleichen gibt es zu jeder reellen analytischen Kurve $(x,y)$ mit reellen Zügen eine analog beschaffene auf den reellen Zügen nur reeller Werte fähige Grö\ss e $t$, für welche $x(t)$ und $y(t)$ eindeutige automorphe Funktionen werden, deren Existenzbereich durch die ganze Ebene gebildet wird, exkl. im allgemeinen unendlich viele in nicht abzählbarer Menge vorhandene Punkte auf der Achse des Reellen. \par Analoge Sätze lassen sich bei relativer Verzweigung der Funktion $t(x,y)$ relativ zur {\it Riemann}schen Fläche $F$ aufstellen. \par Der Nachweis der Existenz der Grö\ss en $t$ kommt wesentlich darauf hinaus, einen {\it allgemeinen Abbildungssatz für einfach zusammenhängende Bereiche} zu beweisen, da\ss\ nämlich jede ungeschlossene endlich- oder unendlich-vielblättrige einfach zusammenhängende {\it Riemann}sche Fläche umkehrbar eindeutig und konform entweder auf die schlichte (d. i. einblättrige) Fläche der {\it ganzen} Ebene, ausschlie\ss lich des unendlich fernen Punktes oder auf die schlichte Fläche eines endlichen Kreises abgebildet werden kann.\par Der Gedankengang des Beweises ist folgender:\par Es sei $B=\lim_{n=\infty}B_{n}$ die als Grenze der Näherungsflächen $B_{1},B_{2},\dots$ aufgefa\ss te, abzubildende Fläche, $O$ ein Punkt innerhalb $B_{1}$. Ist $u_{n}$ die zu $B_{n}$ gehörende auf der Begrenzung von $B_{n}$ verschwindene und in $O$ wie $\log\frac{1}{r}+c_{n}+((0))$ unendlich werdende {\it Green}sche Funktion, so hat man für die Konstanten $c_{1},c_{2},\dots$ die Ungleichheiten $c_{1}<c_{2}<c_{3}<\dots$, ferner $u_{1}<u_{2}<\dots$ Fundamental ist nun die Unterscheidung der beiden Fälle $\lim_{n=\infty}c_{n}=\left\{{\text{endliche Grö\ss e}\ c} \atop{\infty}\right\}$. Im ersten Falle existiert $\lim_{n=\infty}u_{n}=u$, und $e^{-(u+iv)}$ leistet eine konforme Abbildung auf den Einheitskreis. Im zweiten Falle existiert $\lim_{n=\infty}U_{n}=U$, wenn $U_{n}$ die in $B_{n}$ eindeutige, auf der Begrenzung von $B_{n}$ verschwindende, in $O$ wie $r^{-1}\cos\varphi$ unstetig werdende Potentialfunktion bezeichnet; $U+iV$ leistet jetzt eine Abbildung auf die ganze Ebene exkl. eines Punktes. -- $\text{Lim}_{n=\infty}U_{n}$ existiert auch im ersten Falle; $U+iV$ bildet dann auf die längs einer endlichen geradlinigen Strecke aufgeschlitzte schlichte Ebene ab. Ebenso ist die Reihe der Funktionen $(u_{n}-c_{n})$ und $e^{-(u_{n}-c_{n})-iv_{n}}$ in beiden Fällen gleichmä\ss ig konvergent. Letztere Tatsache bedeutet geometrisch die Ausführung von lauter konformen Abbildungen der Näherungsflächen $B_{1},B_{2},\dots$ auf Kreisflächen mit dem Nullpunkt als gemeinschaftlichem Mittelpunkt und den mit dem Index wachsenden Radien $e^{c_{1}},e^{c_{2}},\dots$\par Gegenüber früheren Untersuchungen von {\it Poincaré} (1883), {\it Harnack} (1887), {\it Osgood} (1900), {\it Brodén} (1905), {\it Johansson} (1905, 1906) und dem Verf. selbst (1906, 1907), welche, auf dem Prinzip der Majorantenbildung beruhend, nur für gewisse Gattungen von {\it Riemann}schen Flächen das Abbildungsproblem zu bewältigen vermochten, wird dieses Prinzip in der hier besprochenen Arbeit nicht mehr benutzt, ein Umstad, welcher die Ausdehnung des allgemeinen Abbildungssatzes auf im Raume gegebene Flächen oder überhaupt ``{\it Ruiemann}sche Mannigfaltigkeiten'' unmittelbar zur Folge hat.\par Ist $y(x)$ speziell eine {\it algebraische} Funktion, so ergibt die Anwendung des allgemeinen Abbildungssatzes einen Beweis desjenigen {\it Klein-Poincaré}schen ``Fundamentaltheorems'', welches die Existenz der zu dieser Funktion gehörenden Uniformisierungstranszendenten mit {\it einem Grenzkreise} behauptet (Math. Ann. Bd. 20, 21).
(Data of JFM: JFM 38.0454.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Toeplitz, Dr. (Göttingen)]

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	Scientific prize winners of the ICM 2010
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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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