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JFM 38.0453.01
Koebe, P.
Über die Uniformisierung reeller algebraischer Kurven. (German)
[J] Gött. Nachr., 177-190 (1907).

Es wird folgender Satz aufgestellt: $(x,y)$ sei irgendeine irreduzible reelle algebraische Kurve mit reellen Zügen, $F$ die zur Funktion $y(x)$ gehörende {\it Riemann}sche Fläche; dann gibt es eine als Funktion des Ortes auf der Fläche $F$ überall mit dem Charakter einer rationalen Funktion von $x$ und $y$ erklärbare Grö\ss e $t=t(x,y)$, welche auf den reellen Zügen der Kurve $(x,y)$ nur reelle Werte annimmt und so beschaffen ist, da\ss\ die Funktionen $x(t)$ und $y(t)$ beide eindeutige Funktionen von $t$ sind.\par Die durch die vorstehenden Bedingungen charakterisierte Grö\ss te $t$ ist durch diese Bedingungen, abgesehen von einer reellen linearen Substitution, bereits vollständig bestimmt und genügt einer Differentialgleichung dritter Ordnung $D(t)_{x}=R(x,y)$, wobei mit $R(x,y)$ eine reelle rationale Funktion der Grö\ss en $x$ und $y$, mit $D(t)_{x}$ der {\it Schwarz}sche Differentialausdruck dritter Ordnung $D(t)_{x}=\frac{2\frac{dt}{dx}\frac{d^{3}t}{dx^{3}}-3\left (\frac{d^{2}t}{dx^{2}}\right )^{2}}{2\left (\frac{dt}{dx}\right )^{2}}$ bezeichnet ist. Der Existenzbereich der linearautomorphen Funktionen $x(t)$ und $y(t)$, d. i. das Wertgebiet der Grö\ss e $t$, wird von der ganzen Ebene gebildet, exkl. im allgemeinen $(p>1)$ unendlich viele in nicht abzählbarer menge vorhandene Punkte auf der Achse des Reellen. \par Der Existenzbeweis für die Grö\ss e $t$ wird in der Weise geführt, da\ss\ zunächst die {\it Riemann}sche Fläche der Funktion $t(x,y)$ relativ über der {\it Riemann}schen Fläche $F$ konstruiert wird. Diese {\it Riemann}sche Fläche zerfällt in zwei zueinander symmetrische einfach zusammenhängende Hälften. Die Funktion $t(x,y)$ selbst wird dann als Abbildungsfunktion gefunden, indem die Existenz der konformen Abbildung einer der genannten beiden Hälften auf die Fläche einer einblättrigen Halbebene nach {\it Poincaré-Harnack}schen Prinzipien bewiesen wird.\par Weitergehende Sätze betreffen die Existenz analog beschaffener uniformisierender Grö\ss en $t$, welche relativ zur Fläche $F$ verzweigt sind.
(Data of JFM: JFM 38.0453.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Toeplitz, Dr. (Göttingen)]

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