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JFM 37.0480.01
Kalähne, A.
Über die Wurzeln einiger Zylinderfunktionen und gewisser aus ihnen gebildeter Gleichungen. (German)
[J] Zs. f. Math. u. Phys. 54, 55-86 (1906).

Die Lösung der {\it Bessel}schen Differentialgleichung für das Innere eines von zwei koaxialen Zylindern begrenzten Raumes mit der Nebenbedingung, dass diese Lösung an den Grenzen verschwindet, führt auf die Gleichung $$ (1)\quad \frac {J_n(x)}{K_n(x)}=\frac {J_n(kx)}{K_n(kx)}\,, $$ in der $J_n(x)$ die {\it Bessel}sche Funktion erster, $K_n(x)$ die zweiter Art bezeichnet, und zwar $$ K_n(x)=\frac 1{\sin (n\pi )}\{\cos (n\pi )J_n(x)-J_{-n}(x)\} , $$ und in der ferner $k>1$ ist. In der voriegenden Arbeit werden die sechs ersten Wurzeln der Gleichung (1) für die Werte $n=0,\frac 12,1,\frac 32,2,\frac 52$ und $k=\frac 65,\frac 32,2$ berechnet. Die Rechnung stützt sich auf Reihen, die {\it MacMahon} für jene Wurzeln angegeben hat (Annals of Math. 9, 28, 1894/5); sie ergeben sich leicht aus den semikonvergenten Reihen der Zylinderfunktionen. Es werden dann noch die Grenzwerte $k=1$ und $k=\infty$ erörtert (für $k=\infty$ geht die Gleichung (1) in $J_n(\xi )=0$ über, für $k=1$ in $\sin\xi=0$ oder $\cos\xi=0$), und es wird gezeigt, wie für gewisse irrationale Werte von $k$ die Wurzeln von (1) aus denen der einfachen Gleichung $J_n(x)=0$ folgen. Endlich werden einige (nicht erschöpfende) Bemerkungen über die Abhängigkeit der Wurzeln der Gleichung (1) von $n$ und $k$ gemacht. \par Eigene analytische Entwicklungen enthält die Arbeit nicht; die angeführten Formeln sind sämtlich bekannt.
(Data of JFM: JFM 37.0480.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Wangerin, Prof. (Halle a. S.)]

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