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JFM 37.0454.01
Nielsen, N.
(Nielsen, Niels [1865-1931])
Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transzendenten. (German)
[B] Leipzig: B. G. Teubner. VI u. 104 S. $8^{\circ}$ (1906).

Schon {\it Soldner}, von dem die Bezeichnung Integrallogarithmus herrührt, wies auf eine merkwürdige Analogie zwischen dem Integrallogarithmus $\text{li}(e^{-x})$ und der {\it Kramp}schen Transzendente $L(x)$ hin. Es handelte sichum gewisse Kettenbruchentwicklungen. Später fand {\it Schlömilch} den inneren Grund dieser Analogie. Er zeigte nämlich, dass beide Transzendenten Spezialfälle einer und derselben Funktion $Q(x,\nu )$ von zwei Veränderlichen sind. Diese Funktion ist die Differenz von $$ \varGamma (\nu )=\int_0^{\infty}e^{-t}t^{\nu -1}dt\text{ und }P(x,\nu )=\int_0^xe^{-t}t^{\nu -1}dt, $$ und zwar hat man $$ \text{li}(e^{-x})=-Q(x,0),\quad L(x)=\frac 12Q(x^2,\frac 12). $$ Die Untersuchung von $Q(x,\nu )$, als Funktion von $x$ betrachtet, bietet für die Ausbildung einer systematischen Theorie der beiden erwähnten Transzendenten offenbare Vorteile. Viele Eigenschaften dieser Transzendenten ergeben sich, wie die Schrift des Verf. zeigt, mit einem Schlage aus allgemeineren Eigenschaften der $Q$-Funktion. Eine solche systematische Untersuchung musste natürlich auch eine Reihe neuer Resultate zutage fördern. \par Ein wertvolles Literaturverzeichnis ist dem Buche angefügt; auch die Anwendungen auf Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Physik sind dabei berücksichtigt. \par Was die rechnerische Seite anbetrifft, so bemängelt der Verf. mit Recht die vorhandenen Tafeln und fordert die Aufstellung solcher, in denen die Logarithmen der Funktionswerte angegeben sind.
(Data of JFM: JFM 37.0454.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Kowalewski, G.; Prof. (Bonn)]

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