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JFM 37.0434.01
Wirtinger, W.
Über eine besondere {\it Dirichlet}sche Reihe. (German)
[J] J. für Math. 129, 214-219 (1905). ISSN 0075-4102; ISSN 1435-5345/e

Die Tatsache, dass eine symmetrische Funktion derjenigen Zweige einer mehrdeutigen Funktion, die man bei Umlaufung eines Verzweigungspunktes erhält, in der Umgebung dieses Punktes eindeutig ist, lässt sich dazu benutzen, um für einige Funktionen, die mit der {\it Riemann}schen Zetafunktion eng verwandt sind, Transformationsformeln und für diese Funktion selbst eine neue Darstellung zu gewinnen. Man erkennt nämlich auf diese Art, dass die Funktion $$ (1)\quad \varPhi (x,s)=\sum_{-\infty}^{+\infty}(l(x)+2k\pi i)^{-s} $$ in dem Gebiete, das aus der $x$-Ebene durch Ausscheidung der Strecke $(0\dots 1)$ auf der reellen Achse entsteht, eindeutig ist. Hieraus ergibt sich für $\varPhi (x,s)$ die ausserhalb des Einheitskreises gültige Entwicklung: $$ (2)\quad \varPhi (x,s)=\frac 1{\varGamma (s)}\sum_1^{\infty} \nu^{s-1}x^{-\nu}, $$ aus der man eine für jedes $x$ brauchbare Darstellung mittels der Funktionalgleichung $$ (3)\quad \frac {\partial \varPhi (x,s)}{\partial x}=-\frac sx\varPhi (x,s+1) $$ gewinnt, nämlich: $$ (4)\quad \varPhi(x,s)=\sum_{-\infty}^{+\infty}[(l(x)+2k\pi i)^{-s}-(l(a)+2k\pi i)^{-s}]+\frac 1{\varGamma (s)}\sum a^{-\nu}\nu^{s-1}, $$ wo die Konstante $a$ nur der Bedingung $|a|>1$ unterworfen ist. Die Gleichung (4) zeigt, dass die Funktion $$ (5)\quad\varPhi_1(x,s)=\varPhi (x,s)-(l(x))^{-s} $$ in der Umgebung der Stelle $x=1$ einen regulären Zweig hat, der aus dem durch (2) definierten Zweige von $\varPhi (x,s)$ hervorgeht und sich nach ganzen Potenzen von $1-x$ entwickeln lässt. Als konstantes Glied dieser Entwicklung findet man $$ (6)\quad \varPhi_1(1,s)=2(2\pi )^{-s}\cos\left(\frac {\pi s}2\right)\zeta (s), $$ und da auch $$ (7)\quad\varPhi_1(1,s)=\frac 1{\varGamma (s)}\cdot\zeta (1-s) $$ ist, so erhält man aus (6) und (7) die bekannte {\it Riemann}sche Gleichung. Auch die erste {\it Riemann}sche Darstellung der Zetafunktion durch ein bestimmtes Integral lässt sich aus (5) mittels des {\it Cauchy}schen Integrals ableiten. Es ist nämlich $$ (8)\quad\varPhi_1(1,s)=\frac 1{2\pi i}\int\frac {(l(x))^{-s}dx}{1-x}; $$ das Integral ist über eine die Strecke $(0\dots 1)$ einmal umlaufende, geschlossene Kurve zu erstrecken. Integriert man aber über den um den Punkt $x=1$ beschriebenen Einheitskreis, so erhält man die neue Darstellung $$ (9)\quad \zeta (1-s)=\frac {\varGamma (s)}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}(l(1+e^{i\varphi}))^{-s}d\varphi . $$
(Data of JFM: JFM 37.0434.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Stäckel, Prof. (Karlsruhe)]

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