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JFM 36.0512.01
Bateman, H.
A generalisation of the {\it Legendre} polynomial. (English)
[J] Lond. M. S. Proc. (2) 3, 111-123 (1905). ISSN 0024-6115; ISSN 1460-244X/e

Die hier behandelten Erweiterungen der {\it Legendre}schen Polynome ergeben sich in derselben Weise aus der {\it Laplace}schen Gleichung für vier Variabeln wie die zugeordneten Kugelfunktionen aus der entsprechenden Gleichung für drei Variabeln. Es sind die ganzen Funktionen $n$-ter Ordnung von $x_1, x_2, x_3, x_4$, die der Gleichung $$(1) \quad \frac{\partial^2 V}{\partial x_1^2} +\frac {\partial^2 V}{\partial x_2^2} +\frac{\partial^2 V}{\partial x_3^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial x_4^2} =0$$ genügen. Setzt man $$x_1=r \cos \vartheta \cos \varphi, \quad x_2= r \cos \vartheta \sin \varphi, \quad x_3= r \sin \vartheta \cos \chi, \quad x_4=r \sin \vartheta \sin \chi,$$ so wird der Gleichung (1) genügt durch $$V= r^n e^{im \varphi+ ik \chi} \theta_n^{m, k},$$ wo $\theta_n^{m, k}$, falls man noch $\cos (2 \vartheta)=\mu$ setzt, der Gleichung (2): $$\frac d{d\mu} \left[ (1-\mu^2) \frac{d \theta}{d \mu} \right] + \theta \left[ \frac n2 \left( \frac n2 +1 \right) - \frac{m^2}{2(1+\mu)} - \frac{k^2}{2 (1-\mu)} \right] =0$$ genügt. Für $m=k$ geht $\theta$ direkt in die zugeordnete Kugelfunktion mit dem Index $\frac n2$ über, während es sich im allgemeinen leicht als hypergeometrische Reihe, multipliziert mit $(1+ \mu)^{\frac 12 m} (1-\mu)^{\frac 12 k}$, darstellen lä\ss t.\par Es werden verschiedene Eigenschaften der Funktionen $\theta$ abgeleitet, unter anderem ihre Beziehungen zu den zugeordneten Kugelfunktionen, Rekursionsformeln der $\theta$, Integralsätze, die denen der Kugelfunktionen analog sind, etc. \par Erwähnt werden mag endlich noch, da\ss\ sich das Produkt $$J_m (r \cos \vartheta) J_k (ir \sin \vartheta)$$ in eine Reihe der Form $$\sum_{s=0}^\infty A_n r^n \theta_n^{m, k} (\cos 2 \vartheta) \quad [ n=m +k+ 2s]$$ entwickeln lä\ss t und $$J_m(r \cos \vartheta \sin \alpha) J_k (r \sin \vartheta \cos \alpha)$$ in eine Reihe der Form $$\sum_{s=0}^\infty B_n \ \frac{J_{n+1} (r)}r\ \theta_n^{m, k} (\cos 2 \vartheta) \theta_n^{m, k} (\cos 2 \alpha),$$ worin wieder $n=m+k+2s$ ist.
(Data of JFM: JFM 36.0512.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Wangerin, Prof. (Halle a. S.)]

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