Simple Search

Query:

Enter a query and click »Search«...

Format:

Display: entries per page entries

JFM 35.0162.01
Burnside, W.
On groups of order $p^{\alpha} q^{\beta}.$. (English)
[J] Lond. M. S. Proc. (2) 1, 388-392 (1904). ISSN 0024-6115; ISSN 1460-244X/e

Die Auflösbarkeit der Gruppen der Ordnung $p^{\alpha} q^{\beta}$ war bisher nur unter beschränkenden Voraussetzungen bewiesen worden. Verf. beweist zum ersten Male das fundamentale Resultat, da\ss\ jede Gruppe der Ordnung $p^{\alpha} q^{\beta}$ auflösbar ist. Es ergibt sich ihm aus dem Satz, da\ss\ jede endliche Gruppe, bei der die Anzahl von Elementen in einer Klasse konjugierter Elemente eine Primzahlpotenz ist, zusammengesetzt ist. Hat man nämlich eine Gruppe der Ordnung $n$ in Klassen konjugierter Elemente eingeteilt, und sind $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_h$ die Anzahl von Elementen dieser Klassen, so ist bekanntlich nach {\it Frobenius}: $n = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_h$, wobei $\lambda_1 = 1$ und $\lambda_2, \lambda_3, \dots, \lambda_h$ Divisoren von $n$ sind. Für $n = p^{\alpha} q^{\beta}$ folgt, wenn man die Existenz invarianter Elemente ausschlie\ss t, also $\lambda_2, \lambda_3, \dots, \lambda_h \ne 1 $ -- in diesem Falle hätte man statt der ursprünglichen Gruppe eine Faktorgruppe zu betrachten --, da\ss\ weder alle Zahlen $\lambda_2, \lambda_3, \dots, \lambda_h$ durch eine Potenz von $p$ noch eine solche von $q$ teilbar sein können, mithin sind gewisse $\lambda$ Potenzen von $p$ allein und gewisse $\lambda$ Potenzen von $q$ allein, und der Hülfssatz kann angewandt werden. Der Beweis des Hülfssatzes beruht auf {\it Frobenius}' Theorie der Gruppencharaktere.
(Data of JFM: JFM 35.0162.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Loewy, Prof. (Freiburg i. Br.)]

Citations: Zbl 0759.33007

Comment on this Item PDF MathML XML ASCII DVI PS BibTeX Online Ordering Article Journal

	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

Simple Search

Zentralblatt MATH Berlin [Germany]