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JFM 34.0520.01
Whittaker, E. T.
On the functions associated with the parabolic cylinder in harmonic analysis. (English)
[J] London M. S. Proc. 35, 417-427 (1903). ISSN 0024-6115; ISSN 1460-244X/e

Für die Differentialgleichung der Funktionen des parabolischen Zylinders wird folgende Normalform zugrunde gelegt: $${(1)} \quad \frac{d^2y}{dz^2}+(n+\tfrac 12-\tfrac 14\,z^2)y=0. $$ Es wird gezeigt, dass man dieser Gleichung ausser durch Reihen nach steigenden Potenzen von $z$ durch das bestimmte Integral $${(2)}\qquad D_n(z)=C \cdot e^{-\frac 14 z^2} z^n \int_\gamma e^{-t-\frac 12(t^2/z^2)} t^{n-1}dt$$ genügen kann, falls der Integrationsweg $\gamma$ so gewählt wird, dass die Grösse $$ \{ t^2-tz^2-(n-1)/z^2 \} f^{-n}e^{-t-\frac 12(t^2/z^2)} $$ am Anfang und am Ende desselben den gleichen Wert hat. Durch Reihenentwicklung von $e^{-\frac 12(t^2/z^2)}$ und passende Wahl des Integrationsweges ergibt sich dann für sehr grosse reelle Werte von $z$ die asymptotische Darstellung $$D_n(z)= C\ \frac{2\pi(-1)^{n+1}}{i \varGamma(n+1)}\ e^{-\frac 12 z^2} z^n \left\{1- \frac{n(n-1)}{2z^2}+\cdots +(-1)^r\ \frac{n(n-1) \dots (n-r)}{2^r \cdot r!}\ \frac{1}{z^{2r}} + \cdots \right\}.$$ Zur Vereinfachung wird nunmehr der in {(2)} enthaltenen willkürlichen Konstante $C$ der Wert $$C=i\ \frac{\varGamma(n+1)(-1)^{n+1}}{2\pi} $$ gegeben, während für solche $n$, deren reeller Teil negativ ist, $$C=\frac{1}{\varGamma(-n)}$$ gesetzt wird. Das allgemeine Integral von {(1)} lässt sich dann so darstellen: $$y = aD_n(z) + bD_{-n-1}(z), $$ und für die Funktion $D_n(z)$ gelten die beiden Rekursionsformeln $$ D_n(z)-zD_{n-1}(z)+(n-1)D_{n-2}(z)=0, $$ $$ \frac{dD_n(z)}{dz} + \tfrac 12 \,zD_n(z)-nD_{n-1}(z)=0. $$ Falls $n$ eine positive ganze Zahl ist, reduziert sich $D_n(z)$ auf $$ (-1)^ne^{\frac 14 z^2}\ \frac{d^n}{dz^n}(e^{-\frac 12z^2}).$$ Ferner gelten für die Funktion $D_n(z)$, falls $n$ und $m$ ganze Zahlen sind, die Integralsätze: $$\int_{-\infty}^{+\infty} D_m(z)D_n(Z)dz=0,\quad \text{falls}\quad m \gtrless n, $$ $$\int_{-\infty}^{+\infty} (D_n(z))^2dz=(2\pi)^{\frac 12} n!, $$ und mit Hilfe derselben kann man eine beliebige Funktion $f(z)$ nach den $D_n$ entwickeln. \par Zum Schluss wird gezeigt, dass man der Gleichung {(1)} noch durch andere Integrale als {(2)} genügen kann. Speziell wird für solche, deren reeller Teil negativ ist, $$D_n(z)= \tfrac 1\pi\, \sin \frac{n \pi}{2}\ \varGamma \left(\frac n2 +1 \right) e^{-\frac 14z^2}\,z^n \int_0^\infty\ e^{-s}s^{-\frac 12n-1} \left( 1+ \frac{2s}{z^2} \right)^{\frac 12(n-1)}ds,$$ und für solche $n$, deren reeller Teil kleiner als 1 ist: $$D_n(z)=\frac{1}{\varGamma \left(\frac{1-n}{2} \right)}\ e^{-\frac 14z^2}\ z^n \int_0^\infty e^{-s}s^{-\frac 12n-\frac 12} \left( 1+\frac{2s}{z^2} \right)^{\frac 12n}ds. $$
(Data of JFM: JFM 34.0520.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Wangerin, Prof. (Halle a. S.)]

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