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JFM 34.0506.03
Schottky, F.
Über die Moduln der Thetafunktionen. (German)
[J] Acta Math. 27, 235-288 (1903). ISSN 0001-5962; ISSN 1871-2509/e

Der Verf. hat früher (vgl. F. d. M. $ 20$, 488, 1888, JFM 20.0488.02) diejenige Relation aufgestellt, welche im Falle $p=4$ zwischen den zehn Moduln einer {\it Riemann}schen Thetafunktion besteht. Diese Relation ist eine algebraische Gleichung achten Grades zwischen den Nullwerten von 24 geraden Thetafunktionen. Da diese 24 Funktionen auf sehr viele (240975) Weisen ausgewählt werden können, so erhält man ebensoviele verschiedene Relationen, welche aber alle untereinander äquivalent sein müssen. Diese Äquivalenz dadurch nachzuweisen, dass man für die Thetanullwerte algebraische Ausdrücke von neun Parametern setzt, welche die sämtlichen Relationen identisch erfüllen, war nicht möglich; dagegen gelingt dem Verf. der gewünschte Nachweis dadurch, dass er zu den 136 Nullwerten $\theta_m$ der geraden Thetafunktionen noch 120 den ungeraden Thetafunktionen entsprechende Grössen $u_m$ hinzunimmt, so dass jetzt zwischen den $\theta_m$ und $u_m$ ein Gleichungensystem besteht, für das eine algebraische Lösung sich ungezwungen ergibt.\par Bevor Verf. an die Lösung dieser Aufgabe geht, gibt er in den $\S\S$ 1 und 2 eine kurze Charakteristikentheorie, in $\S$ 3 eine Theorie der Thetarelationen für die Fälle $p = 1, 2, 3$. In dieser macht er insbesondere darauf aufmerksam, dass seine für den Fall $p = 4$ gefundene Relation sich in bemerkenswerter Weise an die Relationen zwischen den Thetanullwerten der Fälle $p = 1, 2, 3$ anschliesst, indem alle in der Form: $$\theta_1^n+\theta_2^n+\theta_3^n \equiv 0 $$ dargestellt werden können, wo:\par im Falle $p = 1: n = 4$ und jedes $\theta$ eine einzelne Thetafunktion,\par im Falle $p = 2: n = 2$ und jedes $\theta$ ein Produkt von 2 Thetafunktionen,\par im Falle $p = 3: n = 1$ und jedes $\theta$ ein Produkt von 4 Thetafunktionen, \par im Falle $p = 4: n = \frac 12$ und jedes $\theta$ ein Produkt von 8 Thetafunktionen\par ist, deren Charakteristiken stets eine {\it Göpel}sche Gruppe bilden.
(Data of JFM: JFM 34.0506.03; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Krazer, Prof. (Karlsruhe)]

Citations: JFM 20.0488.02

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