Simple Search

Query:

Enter a query and click »Search«...

Format:

Display: entries per page entries

JFM 34.0422.02
Fredholm, J.
Sur une classe d'équations fonctionnelles. (French)
[J] Acta Math. 27, 365-390 (1903). ISSN 0001-5962; ISSN 1871-2509/e

Die Klasse von Funktionalgleichungen, mit denen sich die vorliegende Arbeit beschäftigt, ist dadurch charakterisiert, dass eine Funktion $\varphi(x)$ bestimmt werden soll, die der Gleichung: $$ {(1)}\quad \varphi(x)+\int_0^1 f(x,y)\varphi(y)dy=\psi(x) $$ genügt, wo $f(x,y)$ und $\psi(x)$ gegebene Funktionen bedeuten. Diese Funktionalgleichung bildet eine Verallgemeinerung der von {\it Abel} mehrfach behandelten Funktionalgleichung: $$ \int f(x,y)\varphi(y)dy=\psi(x), $$ und sie umfasst auch die von {\it Volterra} in wichtigen Arbeiten (Annali. di Mat. {(2)} $ 25$, 297-306; vgl. F. d. M. $ 27$, 309-310, JFM 27.0309.01,JFM 27.0309.02,JFM 27.0309.03 und $ 28$, 366-367, JFM 28.0366.02) untersuchte Funktionalgleichung als besonderen Fall. Die Wichtigkeit der {\it Fredholm}schen Funktionalgleichung beruht darin, dass die meisten Probleme der mathematischen Physik, die auf lineare Differentialgleichungen führen, sich in die Form solcher Funktionalgleichungen umsetzen oder in die noch allgemeinere Form: $$\varphi(x_1\dots x_n) + \int \cdots \int f(x_1 \dots x_n,\xi_1 \dots \xi_n) \varphi(\xi_1\dots \xi_n) d \xi_1\dots d \xi_n = \psi(x_1 \dots x_n).$$ Der Verf. behandelt sein Problem nicht in voller Allgemeinheit, sondern er legt der Funktion $f(x,y)$ die Beschränkung auf, dass $$(x-y)^a f(x,y) $$ eine endliche und integrierbare Funktion sei, wobei $\alpha$ kleiner ist als 1. \par Nach Einführung und Bestimmung der Eigenschaften der Determinante der ursprünglichen Funktionalgleichung geht Verf. dazu über, die Gleichung {(1)}, in der $\psi(x)$ als endliche und integrierbare Funktion vorausgesetzt wird, als eine Transformation der Funktion $\varphi(x)$ anzusehen, die zu der Funktion $f(x,y)$ gehört; er schreibt demgemäss die Gleichung {(1)}: $$S_f \varphi(x)=\psi(x).$$ Von diesen Transformationen wird zunächst nachgewiesen, dass sie eine Gruppe bilden. Ferner wird der folgende Satz hergeleitet:\par Wenn die Determinante einer Funktionalgleichung der Form $$\varphi(x)+\int_0^1 f(x,s)\varphi(s)ds=\psi(x),$$ in der $f(x,s)$ und $\psi(x)$ endliche und integrierbare Functionen sind, nicht verschwindet, so gibt es eine und nur eine Funktion $\varphi(x)$, die dieser Gleichung genügt. Diese Funktion wird gegeben durch die Gleichung: $$\varphi(x)=\psi(x)- \int_0^1\ \frac{D_f {x \choose y}}{D_f}\ \psi(y)dy,$$ wo $D_f$ die Determinante der Funktionalgleichung bedeutet.\par Unter der Voraussetzung, dass die Determinante verschwindet, ergibt sich: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine von Null verschiedene Lösung der Gleichung $$S_f \varphi(x)=0$$ existiert, lautet: $D_f=0$, Ist $n$ die Ordnung der ersten nicht verschwindenden Unterdeterminante von $D_f$, so besitzt die gegebene Gleichung $n$ linearunabhängige Lösungen. \par In den übrigen Teilen der Abhandlung wird die erste Variation der Determinante $D_f$ hergeleitet, das Multiplikationstheorem der Determinante entwickelt und insbesondere noch der Fall näher ins Auge gefasst, dass die Funktion $f(x,y)$ unendlich wird, aber so dass $(x-y)^\alpha f(x,y)$ endlich bleibt.
(Data of JFM: JFM 34.0422.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Gutzmer, Prof. (Jena)]

Citations: JFM 27.0309.01; JFM 27.0309.02; JFM 27.0309.03; JFM 28.0366.02

Comment on this Item PDF MathML XML ASCII DVI PS BibTeX Online Ordering Article Journal Journal

	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

Simple Search

Zentralblatt MATH Berlin [Germany]