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JFM 34.0120.03
Grace, J. H.
Extension of two theorems on covariants. (English)
[J] London M. S. Proc. (2) 1, 151-153 (1903). ISSN 0024-6115; ISSN 1460-244X/e

(Siehe auch JFM 34.0120.01 u.JFM 34.0120.02). Die symbolische {\it Clebsch-Aronhold}sche Methode wird angewandt zur direkten Aufstellung eines Systems von Perpetuanten, d. i. eines irreduziblen Systems von Kovarianten einer unbegrenzte Anzahl binärer Formen unbegrenzter Ordnung. Sind also $a_x^n, b_x^n, c_x^n, \dots$ die vorgelegten Formen, wo $n$ beliebig hoch sein kann, so handelt es sich um ein Formensystem vom Typus $(ab)^{\lambda} (bc)^{\mu} (cd)^{\nu}\dots a_x^p b_x^q \dots$, durch die alle anderen ausdrückbar sind. Da die Klammerfaktoren allein schon die Kovariante bestimmen, so kann man sich auf sie beschränken und überdies die Normalform $(ab)^{\lambda} (ac)^{\mu} (ad)^{\nu}\dots$ voraussetzen. Für den Grad 3 ergibt sich das gewünschte System, indem man die reduzibeln Typen weglässt, unmittelbar durch $(ab)^{\lambda} (ac)^{\mu}$ $(\mu \geqq 1, \lambda \geqq 2)$. \par Für den Grad 4 werden einige von {\it Jordan} herrührende Hülfssätze herangezogen, und das fragliche System wird $$ (ab)^{\lambda} (ac)^{\mu} (ad)^{\nu}\quad (\nu \geqq 1,\ \mu \geqq 2,\ \lambda \geqq 4).$$ Ein vollkommen analoges Resultat gilt für einen beliebigen Grad $n$; das System wird angegeben durch $$(ab)^{\lambda} (ac)^{\mu} (ad)^{\nu}\dots(\lambda \geqq 2^{n-2},\ \mu \geqq 2^{n-3},\ \nu \geqq 2^{n-4},\ \dots) $$ oder auch durch $(ab)^{\lambda} (bc)^{\mu} (cd)^{\nu}\dots$. Bisher war angenommen, dass sich alle Buchstaben $a, b, c, \dots$ auf verschiedene Formen beziehen. Diese Beschränkung wird in der zweiten Abhandlung aufgehoben, und der Verf. gelangt so zu den von {\it MacMahon} und Stroh herrührenden erzeugenden Funktionen für Perpetuanten. Beziehen sich z. B. die Symbole $a_1, a_2, a_3, \dots$ alle auf die nämliche Form $a_x^n$, so ist die allgemeine Gestalt der Perpetuante $$(a_1 a_2)^{a_1} (a_2 a_3)^{a_2} (a_3 a_4)^{a_3}\dots (a_r a_{r+1}^{a_r}; $$ wo $$\alpha_1 \geqq \alpha_2,\ \alpha_2 \geqq a_3+2^{r-3},\ \alpha_3 \geqq \alpha_4+2^{r-4}, \dots, \alpha_{r-2} \geqq \alpha_{r-1}+2,\ \alpha_{r-1} \geqq \alpha_r+1.$$ Man darf also setzen: $$\alpha_r=1+\xi_r,\ \alpha_{r-1}=2+\xi_r+\xi_{r-1},\ \alpha_{r-2}= 4+\xi_r+\xi_{r-1}+\xi_{r-2}, \dots;$$ $$ \alpha_2=2^{r-2}+\xi_r+\cdots+\xi_2,\ 2\alpha_1=2^{r-1}+2 (\xi_r+\cdots+\xi_1),$$ wo die $\xi$ positiv ganzzahlig inklusive 0 sind. Somit wird das Gewicht $$w=2\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_r=(2^r-1)+2\xi_1+3\xi_2 +\cdots+(r+1)\xi_r, $$ und die Anzahl der Perpetuanten vom Gewicht $w$ und Grade $i$ wird der Koeffizient von $z^w$ in der erzeugenden Funktion $$\frac{z^{2^{i-1}}-1}{(1-z^2)(1-z^3)\dots(1-z^n)}.$$ Dieses Verfahren lässt sich auf mehrere Urformen ausdehnen.\par In der dritten Arbeit wird gezeigt wie zwei bekannte Satze über binäre Formen: 1. die Funktionaldeterminante aus der Funktionaldeterminante zweier binären Formen und einer dritten Form ist reduzibel; 2. das Produkt aus zwei Funktionaldeterminanten kann als Aggregat von Produktion je dreier Faktoren dargestellt werden eine erhebliche Verallgemeinerung gestatten, wenn man sie als Sätze über Perpetuanten auffasst.\par So ist z. B., wenn $i$ Reihen von Symbolen vorliegen und die Anzahl von Klammerfaktoren, die zwei auf verschiedene Reihen bezügliche Symbole enthalten, stets kleiner als $2^{i-1}-1$ ausfällt, das Produkt reduzibel. \par Andererseits sei $P$ ein irreduzibles Produkt, das $i$ Buchstaben und $w$ Faktoren enthalte, so dass $w \geqq 2^{i-1}-1$, dann lässt sich für $w<2^i-1$ das Produkt $P(\alpha \beta)$ darstellen als ein Aggregat von Produkten, die entweder die Form $\alpha$ oder aber die Form $\beta$ und überdies zwei andere Faktoren enthalten.
(Data of JFM: JFM 34.0120.03; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Meyer, F.; Prof. (Königsberg i. Pr.)]

Citations: JFM 34.0120.01; JFM 34.0120.02

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