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JFM 29.0370.02
Poincaré, H.
On the properties of the potential and on Abelian functions. (Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes.) (French)
[J] Acta Math. 22, 89-178 (1898). ISSN 0001-5962; ISSN 1871-2509/e

Nach einem berühmten Satze von Weierstrass lässt sich jede 2n-fach periodische Function von $n$ complexen Variabeln als Quotient zweier Thetafunctionen darstellen, vorausgesetzt, dass die Function im Endlichen meromorph ist (den Charakter einer rationalen Function besitzt). In der vorliegenden umfangreichen Arbeit giebt der Verf. einen neuen Beweis dieses Satzes, dessen Hauptpunkte die folgenden sind:\par 1. Es sei $F$ eine in einem $2n$-fach ausgedehnten Gebiete $G$ holomorphe Function der complexen Variable $z_k=x_k+y_k$ $(k=1,2,\dots,n)$. Die Nullstellen von $F$ bilden eine Mannigfaltigkeit von $2n-2$ Dimensionen, die mit $C$ bezeichnet werde. Der reelle Teil von $\lg F$ heisse $V$. Es ist dann $V$ eine Function der $2n$ reellen Variablen $x_k$, $y_k$, endlich und stetig im Gebiete $G$ nach Ausschluss der Mannigfaltigkeit $C$; ferner genügt $V$ den bekannten partiellen Differentialgleichungen, insbesondere der Gleichung $\Delta V=0$, die $V$ als ``harmonische Function'' charakterisirt. Nach einem vom Verf. aufgestellten allgemeinen Satz über harmonische Functionen lässt sich $V$ darstellen als Summe einer im Gebiete $G$ holomorphen harmonischen Function und des Potentials der Mannigfaltigkeit $C$, wenn auf derselben die Dichte überall gleich 1 genommen wird.\par 2. Bezeichnet $F$ eine im Endlichen meromorphe Function, so bilden die Nullstellen und die Unendlichkeitsstellen von $F$ zwei Mannigfaltigkeiten $C$ und $C'$ von $2n-2$ Dimensionen, die sich in der Mannigfaltigkeit von $2n-4$ Dimensionen durchschneiden, welche von den ausserwesentlich singulären Stellen von $F$ gebildet wird. In einer genügend kleinen Umgebung $G$ einer beliebig angenommenen Stelle lässt sich $F$ als Quotient $\frac PQ$ zweier gewöhnlichen Potenzreihen so darstellen, dass innerhalb $G$ die Punkte von $C$ und $C'$ bezüglich durch die Gleichungen $P=0$ und $Q=0$ definirt werden. Wenn nun $F$ $2n$-fach periodisch ist, so lässt sich in bekannter Weise der Raum von $2n$ Dimensionen in Periodenparallelepipeda $R_0$, $R_1$, ..., $R_k$, ... einteilen. Das Stück der Mannigfaltigkeit $C$, welches in $R_k$ liegt, heisse $C_k$, und es sei: $V_k=\int\limits_{C_k}\frac{d\omega'}{r^{2n-2}}$ das Potential von $C_k$, wobei $r$ den Abstand des Elementes $d\omega'$ der Mannigfaltigkeit $C_k$ von dem Punkte $(x_1,y_1,x_2,y_2,\dots,x_n,y_n)$ bedeutet. Bezeichnet $U$ die Summe der Glieder nullter, erster und zweiter Dimension in der Entwickelung von $\frac1{r^{2n-2}}$ nach ganzen positiven Potenzen von $x_1,y_1,\dots,x_n,y_n$, und setzt man $S_k=\int\limits_{C_k}Du\omega'$, so erweist sich die Reihe $V=\sum\limits_k(V_k-S_k)$ als absolut convergent, wenn man die Punkte der Mannigfaltigkeit $C$ ausschliesst. $V$ ist daher ausserhalb $C$ holomorph und harmonisch; ferner ist $V-V_k$ holomorph und harmonisch im Innern von $R_k$. Combinirt man hiermit den Satz unter 1., so folgt, dass $V-\lg|P|$ im Gebiete $G$ ebenfalls holomorph und harmonisch ist. Aus der Definition von $V$ geht leicht hervor, dass diese Function um eine lineare Function von $x_1,y_1,\dots,x_n,y_n$ wächst, wenn $z_1$, $z_2$, ..., $z_n$ um ein Periodensystem vermehrt werden.\par 3. Es gelingt nun, eine ganze Function zweiten Grades $Z$ von $x_1,y_1,\dots,x_n,y_n$ so zu bestimmen, dass $V-\lg|P|-Z$ den Differentialgleichungen des reellen Teiles einer analytischen Function von $z_1$, $z_2$, ..., $z_n$ genügt. In bekannter Weise erhält man durch Integration eines exacten Differentials den zugehörigen imaginären Teil $iT$. Setzt man schliesslich $\varphi=V-\lg|P|-Z+iT$, so wird nun $P.e^\varphi=\Theta(z)$ eine im Endlichen überall holomorphe Function von $z_1$, $z_2$, ..., $z_n$.\par 4. Genau in derselben Weise ergiebt sich eine Gleichung der Gestalt $Q.e^{\varphi'}=\Theta'(z)$ und hieraus $$F = \frac PQ = \frac{\Theta(z)}{\Theta'(z)}e^{H(z)},$$ wobei sich $H(z)$ als ein Polynom zweiten Grades herausstellt. Hiermit ist das Ziel erreicht; denn $\Theta(z)$ und $\Theta'(z)$ sind, wie man leicht erkennt, nichts anderes als Thetafunctionen.\par Wir bemerken schliesslich noch, dass der Verf. in seiner Abhandlung mehrere interessante Untersuchungen über die Unstetigkeiten der Potentiale aufgenommen hat, Untersuchungen, die allerdings mit dem eigentlichen Ziele der Abhandlung nur in losem Zusammenhange stehen.
(Data of JFM: JFM 29.0370.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Hurwitz, Prof. (Zürich)]

MSC 2000:: *32A20 Meromorphic functions (several variables)

Keywords: Abelian functions as quotients of theta functions. The Poincaré-Lelong formula

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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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