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JFM 29.0178.02
Pringsheim, A.
Ueber die Convergenz unendlicher Kettenbrüche. (German)
[J] Münch. Ber. 28, 295-324 (1898).

Es handelt sich um Kettenbrüche mit beliebigen reellen oder complexen Gliedern, über deren Convergenz wir bis jetzt noch keine allgemeinen Kriterien besitzen. Verf. bildet die Näherungswerte $A_n:B_n$ zunächst rein formal und stellt einleitungsweise die Bedingungen des eventuellen Vorkommens von sinnlosen Näherungsbrüchen (mit dem Nenner 0) fest. Convergent heisst der Kettenbruch, wenn $\lim\limits_{n=\infty}A_n:B_n$ eine bestimmte Zahl $K$ ist. Nun weiss man aber, dass (im Gegensatz zu den unendlichen Reihen) die Fortlassung einer endlichen Anzahl von Anfangsgliedern einen convergenten Kettenbruch in einen divergenten verwandeln kann. Unbedingt convergent sollen daher diejenigen Kettenbrüche heissen, bei welchen die Convergenz erhalten bleibt, wo man auch beginne; bedingt convergent ist der Kettenbruch, wenn man durch späteren Anfang mindestens einen divergenten Bruch herstellen kann. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die unbedingte Convergenz besteht darin, dass der Grenzwert $K$ des unendlichen Bruches nicht schon vorher durch einen Näherungewert $A_m:B_m=K$ erreicht wird, d. h. mit andern Worten, ein bedingt convergenter Kettenbruch kann stets durch eine gewisse endliche Länge desselben ersetzt werden, die späteren Glieder verlieren den Charakter analytischer Notwendigkeit und sind in hohem Grade willkürlich.\par Der zweite Teil der vorliegenden Abhandlung beschäftigt sich mit der Aufstellung elementarer Convergenz-Kriterien. Man findet zunächst, dass ein von Seidel und Stern in besonderen Fällen erkannter Satz allgemein gilt, dass nämlich der Kettenbruch, dessen Teilbrüche $a_\nu:b_\nu$ aus beliebigen Zahlen gebildet sind. unbedingt convergent, wenn $|b_\nu|- |a_\nu|\geqq1$ $(\nu=1,2,3,\dots)$. [Die Abhandlung enthält an dieser wichtigen Stelle einen durch mehrere Seiten gehenden Druckfehler.]\par Die Anwendung auf die beiden wichtigen Typen mit den Teilbrüchen $\pm1:b_\nu$, resp. $a_\nu:1$ liefert vermittelst Transformationen in äquivalente Kettenbrüche die Bedingungen: $$\left|\frac1{b_{2\nu-1}}\right| + \left|\frac1{b_{2\nu}}\right|\leqq1,\text{ resp. }|a_2<\frac12,\,|a_{2\nu- 1}| + |a_{2\nu+2}|\leqq\frac12,$$ $$(\nu=1,2,3,\dots)$$ woraus endlich noch wieder für die allgemeine Form $a_\nu:b_\nu$ folgt: $$\left|\frac{a_2}{b_1b_2}\right|<\frac12,\, \left|\frac{a_{2\nu+1}}{b_{2\nu}b_{2\nu+1}}\right| + \left|\frac{a_{2\nu+2}}{b_{2\nu+1}b_{2\nu+2}}\right|\leqq\frac12.$$
(Data of JFM: JFM 29.0178.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Müller, R.; Dr. (Berlin)]

MSC 2000:: *11A55 Continued fractions (number-theoretic results)
30B70 Continued fractions (function-theoretic results)
40A15 Convergence of continued fractions

Keywords: continued fractions; series expansions; convergence of continued fractions

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