Simple Search

Query:

Enter a query and click »Search«...

Format:

Display: entries per page entries

JFM 27.0139.05
Moore, E. H.
A two-fold generalization of Fermat's theorem. (English)
[J] American M. S. Bull. 2, 189-199 (1896). ISSN 0002-9904; ISSN 1936-881X/e

Der Fermat'sche Satz $a^p-a\equiv 0\ {\text{(mod.\,}p)},$ wo $p$ eine Primzahl und $a$ eine beliebige ganze Zahl ist, wird zunächst so verallgemeinert: Die beiden Formen in den zwei unbestimmten $X_0,\ X_1:$ $$\align & D[2,1;p](X_0,X_1) =X_0X_1^p-X_0^pX_1,\\ & P[2,1,p](X_0,X_1) =\varPi(a_0X_0+X_1)\qquad(a_0=0,1,\dots,p-1)\endalign$$ sind identisch congruent (mod.\,$p$). Dann wird dieser Satz auf $k+1$ Unbestimmte ausgedehnt. Alle modulo $p$ congruenten ganzen Zahlen bilden eine ``Klasse'', die $p$ incongruenten Klassen ein ``Feld'' $F(p)$ von der Ordnung $p$ und dem Range 1. Die $p$ ``markirt'' gedachten Klassen von $F(p)$ können durch die vier ersten Grundoperationen der Arithmetik mit einander verbunden werden. Der Begriff des Feldes $F(p)$ wird dann ferner erweitert zu dem Galois-Felde $GF(p^n)$ von der Ordnung $p^n$, dem Modulus $p$ und dem Range $n$ mit $p^n$ Marken $\alpha$ das demnach nur für $p={\text{Primzahl}},\ n={\text{positiver ganzer Zahl}}$ definirt ist. Die vom Verf. gegebene Verallgemeinerung des Fermat'schen Satzes lautet nun: Die beiden Formen in den $k+1$ Unbestimmten $X_0,X_1,\dots,X_k$: $$\align & D[k+1,n;p](X_0,X_1,\dots,X_k) \equiv \vert X_j^{p^{ni}}\vert \quad (i,j=0,1,\dots,k),\\ & P[k+1,n;p](X_0,X_1,\dots,X_k) \equiv\varPi^*\Sigma a_gX_g\quad (g=0,1,\dots,k),\endalign$$ wo das Product $\varPi^*$ die $(p^{n(k+1)}-1)/(p^n-1)$ verschiedenen primitiven linearen homogenen Formen $\varSigma a_gX_g$ umfasst, welche zu $GF(p^n)$ gehören, sind identisch.
(Data of JFM: JFM 27.0139.05; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Lampe, Prof. (Berlin)]

MSC 2000:: *11T99 Finite fields and commutative rings (number-theoretic aspects)

Keywords: finite fields; linear forms; Fermat's theorem

Comment on this Item PDF MathML XML ASCII DVI PS BibTeX Online Ordering Article Journal Journal

	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

Simple Search

Zentralblatt MATH Berlin [Germany]