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JFM 26.0429.03
Borel, E.
On some points in the theory of functions. (Sur quelques points de la théorie des fonctions.) (French)
[J] Ann. de l'Éc. Norm. (3) XII, 9-55 (1895). ISSN 0012-9593

Der Verfasser beschäftigt sich im ersten Teile der vorliegenden Abhandlung mit Reihen der Gestalt $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{A_n}{(z-a_n)^{m_n}}$ und wird dabei zu verschiedenen Bemerkungen, die die allgemeine Theorie der Functionen betreffen, geführt. Beispielsweise weist er darauf hin, dass, wenn $\varphi(z)$ eine eindeutige analytische Function ist, welche die Punkte einer Linie $a\dots b$ zu singulären Punkten hat, die Function $\varphi(z)+g(z)\lg\frac{z-a}{z-b}$ denselben Charakter besitzt. Es kann also die Differenz zweier eindeutigen Functionen vieldeutig sein. Im zweiten Teile der Abhandlung giebt der Verfasser zunächst Beispiele von Functionen einer reellen Variable, die in einem gewissen Intervalle Ableitungen jeder Ordnung besitzen, ohne nach der Taylor'schen Reihe entwickelbar zu sein. Ist $-\pi\cdots+\pi$ das in Betracht kommende Intervall, so lässt sich jede Function, welche Ableitungen aller Ordnungen besitzt, durch eine Reihe der Gestalt $\sum\limits_{k=0}^\infty(A_kz^k+B_k\cos kz+C_k\sin kz)$ darstellen, und zwar derart, dass die Ableitungen der Function durch gliedweise Differentiation erhalten werden. Der Beweis dieses Satzes beruht auf einer allgemeinen Methode zur Auflösung gewisser Systeme von unendlich vielen linearen Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten. In einem Schlusswort führt der Verfasser aus, dass die in der mathematischen Physik gemachte Voraussetzung, die in Betracht kommenden Functionen seien nach dem Taylor'schen Satze entwickelbar, eine ungerechtfertigte ist.
(Data of JFM: JFM 26.0429.03; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Hurwitz, Prof. (Zürich)]

MSC 2000:: *30D99 Entire and meromorphic functions
26A99 Functions of one real variable

Keywords: Examples of smooth but nonanalytic functions. Singularities of holomorphic functions

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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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