Simple Search

Query:

Enter a query and click »Search«...

Format:

Display: entries per page entries

JFM 25.0842.02
McMahon, J.
On the roots of the Bessel and certain related functions. (English)
[J] Annals of Math. IX, 23-30 (1894). ISSN 0003-486X

Der Verfasser zeigt, wie man die semiconvergenten Reihen für die Bessel'schen Functionen zur Berechnung der Nullwerte dieser Functionen benutzen kann. Dazu führt er in die Gleichung $$\sqrt{\frac12\pi x} J_n(x) = \cos(x-\frac14\pi-\frac12n\pi)\varphi_n(x) + \sin (x-\frac14\pi-\frac12n\pi)\psi_n(x),$$ worin $\varphi$ und $\psi$ die semiconvergenten Reihen sind, einen Hülfswinkel $\vartheta$ durch die Gleichung $$\tan \vartheta = \frac{\psi_n(x)}{\varphi_n(x)}$$ ein und entwickelt daraus $\vartheta$ nach fallenden Potenzen von $x$. Der gesuchte Nullwert hat aber die Form $x=\beta+\vartheta$. Durch Einsetzung der Reihe für $\vartheta$ und Anwendung der Lagrange'schen Umkehrungsformel enthält man daraus für die $s^{\text{te}}$ Wurzel der Gleichung $J_n(x)=0$ eine Reihe, die nach fallenden Potenzen von $\beta=\frac14\pi(2n-1+4s)$ fortschreitet. Indessen werden überall nur die ersten Glieder der Reihen berechnet, das allgemeine Glied hat der Verfasser nicht ermittelt; ebensowenig bringt er irgend etwas über die Convergenz der Reihen bei.\par Nach derselben Methode werden noch die ersten Glieder der Reihen für die Wurzeln der Gleichungen $$J_n'(x) = 0,\quad K_n(x) = 0,\quad K_n'(x) = 0$$ ($K_n$ ist die Bessel'sche Function zweiter Art), endlich die der Gleichungen $$\frac{K_n(x)}{J_n(x)} = \frac{K_n(\varrho x)}{J_n(\varrho x)},\quad \frac{K_n'(x)}{J_n'(x)} = \frac{K_n'(\varrho x)}{J_n'(\varrho x)},$$ in denen $\varrho$ eine gegebene Zahl ist, berechnet.
(Data of JFM: JFM 25.0842.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Wangerin, Prof. (Halle a. S.)]

Comment on this Item PDF MathML XML ASCII DVI PS BibTeX Online Ordering Article Journal

	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

Simple Search

Zentralblatt MATH Berlin [Germany]