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JFM 24.0380.02
Hurwitz, A.
On Riemann surfaces with monogenic transformations into themselves. (Ueber algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.) (German)
[J] Math. Ann. XLI, 403-442 (1893). ISSN 0025-5831; ISSN 1432-1807/e

Im ersten Abschnitte der Abhandlung zeigt der Verfasser zunächst durch eine einfache Betrachtung, dass es auf einer Riemann'schen Fläche vom Geschlechte $p$ höchstens $2p+2$ verschiedene Stellen $P$ giebt, welche ungeändert bleiben, wenn man die Riemann'sche Fläche einer eindeutigen Transformation in sich unterwirft. Sind nun $u_1,\dots,u_p$ die $p$ zur Fläche gehörigen, linear unabhängigen Integrale erster Gattung, und bezeichnet $t$ eine solche Function des Ortes der Fläche, welche in der gerade zu betrachtenden Stelle $P$ derselben von der ersten Ordnung verschwindet, so gilt für die Determinante $$\varDelta_t=\vmatrix \frac{du_1}{dt}\,, & \frac{du_2}{dt}\,, & \dots, & \frac{du_p}{dt}\\ \frac{d^2u_1}{dt^2}\,, & \frac{d^2u_2}{dt^2}\,, & \dots, & \frac{d^2u_p}{dt^2}\\ \hdotsfor4\\ \frac{d^pu_1}{dt^p}\,, & \frac{d^pu_2}{dt^p}\,, & \dots, & \frac{d^pu_p}{dt^p}\endvmatrix$$ die folgende Thatsache: Es giebt stets eine endliche Zahl von Stellen $P$, an welchen $\varDelta_t$ verschwindet. Sind $P_1,\dots, P_r$ diese Stellen und $m_1,\dots,m_r$ die zugehörigen Ordnungszahlen des Verschwindens von $\varDelta_t$, so ist $$m_1+\cdots+m_r=p(p^2-1).$$ Die nähere Untersuchung der Zahlen $m_1,\dots,m_r$, bei welcher auch ihre Beziehung zum Weierstrass'schen Lückensatze hervortritt, führt zu der Erkenntais, dass die Anzahl $r$ derselben auf jeder nicht hyperelliptischen Fläche stets die Zahl $2p+2$ übersteigt. Da ferner die Stellen $P_1,\dots,P_r$ sich bei einer eindeutigen Transformation der Fläche in sich offenbar nur unter einander vertauschen, so wird hieraus sofort geschlossen, dass die Fläche nur eine endliche Anzahl, nämlich höchstens $r!$ eindeutige Transformationen in sich besitzen kann. Denn zwei Transformationen $S$ und $S'$, welche dieselbe Vertauschung der Stellen $P_1,\dots, P_r$, hervorbringen, sind notwendig identisch, da $S'S^{-1}$ die $r$ Stellen fest lässt und also nach dem anfangs genannten Satze die identische Transformation ist. Der dabei ausgeschlossene Fall der hyperelliptischen Fläche wird durch eine besondere Betrachtung erledigt. Wird die Riemann'sche Fläche in der bekannten Weise durch eine Curve $(2p-2)^{\text{ter}}$ Ordnung im Raume von $p-1$ Dimensionen dargestellt, indem man die homogenen Coordinaten den $p$ Differentialen $du_1,\dots,du_p$ proportional setzt, so sind die Punkte $P_1,\dots, P_r$ auf dieser Curve keine anderen als diejenigen, in welchen eine Ebene hyperosculirt. Der Verfasser beweist die Existenz weiterer invarianter Punktgruppen auf der Curve durch den Satz: Die Anzahl der Punkte auf der Curve $(2p-2)^{\text{ter}}$ Ordnung, in welchen dieselbe von einer Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung hyperosculirt wird, beträgt stets $(2k-1)^2p(p-1)^2$; dabei ist jeder Punkt mit der ihm zugehörigen Multiplicität zu zählen.\par Im zweiten Abschnitt giebt der Verfasser zunächst eine sehr übersichtliche und zweckmässige Zerschneidung der Riemann'schen Fläche an, welche darauf beruht, dass er von einem beliebigen Punkte $O$ aus $2p$ knotenlose, in $O$ beginnende und endigende Schnitte ausführt. Der Hauptgegenstand dieses Abschnittes ist nun die Construction einer Riemann'schen Fläche, welche eine endliche Gruppe von eindeutigen Transformationen in sich besitzt. Man erhält die allgemeinste derartige Fläche $F$, wenn man eine beliebig gewählte Fläche $\varPhi$ in $r$ Exemplaren nimmt, diese Exemplare auf einander legt und in geeigneter Weise zu einer einzigen Fläche mit einander verbindet. Ist die so entstehende Riemann'sche Fläche $F$ vom Geschlechte $p$ und die ursprüngliche Fläche $\varPhi$ vom Geschlechte $\pi$, so besteht die Gleichung\par $$2p-2 = W+r(2\pi- 2),$$ wo $W$ die Gesamtzahl der Verzweigungen von $F$ in Bezug auf $\varPhi$ bedeutet. Aus dieser Gleichung erschliesst der Verfasser die von Zeuthen aufgestellte Relation zwischen den Geschlechtszahlen zweier mehrdeutig auf einander bezogenen algebraischen Gebilde. Es folgen noch weitere Anwendungen und specielle Beispiele.\par Die Untersuchungen des dritten Abschnittes beziehen sich auf die Integrale erster Gattung, wenn diese eine Gruppe eindeutiger Transformationen in sich besitzt. Jeder solchen eindeutigen Transformation der Fläche entspricht eine lineare Transformation der Integrale erster Gattung, und diese letztere ist gleichbedeutend mit einer homogenen linearen Transformation der Differentiale erster Gattung. Die Frage, wie oft eine bestimmte Einheitswurzel als Wurzel der charakteristischen Gleichung einer einzelnen linearen Transformation auftritt, führt auf die Bestimmung gewisser Systeme von Functionen einer Fläche, welche wesentlich durch die Eigenschaft charakterisirt sind, dass sie sich auf geschlossenen Wegen bis auf multiplicative Constanten reproduciren. Es werden die Existenzbedingungen und hauptsächlichsten Eigenschaften dieser Functionen entwickelt.
(Data of JFM: JFM 24.0380.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Hilbert, Prof. (Göttingen)]

MSC 2000:: *30F35 Fuchsian groups and automorphic functions

Keywords: Riemann surfaces; Hurwitz' theorem

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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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