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JFM 23.0214.01
Minkowski, H.
Arithmetical theorems. (Théorèmes arithmetiques.) (French)
[J] C. R. CXII, 209-212 (1891). ISSN 0001-4036

In dieser Note erweitert der Verfasser die Methoden und Resultate seiner im vorigen Referate (siehe JFM 23.0212.01) besprochenen Abhandlung. Statt der definiten quadratischen Form wird allgemein eine Summe von der Gestalt $f=\vert\xi^p\vert + \vert\eta^p\vert + \vert\zeta^p\vert + \cdots$ der Betrachtung zu Grunde gelegt, wo $\xi,\eta,\zeta,\dots$ irgend $n$ unabhängige Linearformen der $n$ Veränderlichen $x,y,z,\dots$ bedeuten, unter denen $\beta$ Paare conjugirt imaginärer vorhanden sind, während die übrigen $\alpha=n-2\beta$ Linearformen reelle Coefficienten haben. Ist ferner $p$ eine reelle Grösse $\geqq 1$ und $\varDelta$ die Determinante der Formen, so gilt der Satz, dass man stets den $x,y,z,\dots$ solche ganzzahligen Werte erteilen kann, dass die genannte Summe der $p^{\text {ten}}$ Potenzen kleiner als die Grösse $$\left\{ \left(\frac 2 \pi \right)^\beta \frac {\varGamma \left(1+\frac n p \right)} {\left[ \varGamma \left(1+ \frac 1 p \right)\right]^\alpha 2^{-\frac {2\beta} p} \left[ \varGamma \left(1+ \frac 2 p \right)\right]^\beta} \ \vert\varDelta\vert \right\}^{\frac p n} < n \vert\varDelta\vert^{\frac p n}$$ ausfällt. Nachdem hieraus der im vorigen Referat genannte Satz von der Discriminante eines Körpers $K$ vom $n^{\text {ten}}$ Grade von neuem bewiesen ist, wird noch eines darüber hinausgehenden Satzes Erwähnung gethan, demzufolge diese Discriminante, absolut genommen, stets grösser ist als $\left[\left(\frac \pi 4\right)^\beta \frac {n^n} {2.3\dots n} \right]^2,$ wo $2\beta$ die Zahl der imaginären zu $K$ conjugirten Körper beträgt.
(Data of JFM: JFM 23.0214.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Hilbert, Prof. (Königsberg i. Pr.)]

MSC 2000:: *11H50 Minima of forms
11R29 Class numbers, class groups, discriminants

Keywords: minima of forms; discriminants of number fields

Citations: JFM 23.0212.01

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