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Sulla varietà cubica con dieci punti doppii dello spazio a quattro dimensioni. (Italian) JFM 19.0673.01

In dieser Abhandlung, der Vorläuferin einer ausgedehnteren Arbeit über die kubischen Mannigfaltigkeiten des vierdehnigen Raumes, über welche im nächsten Bande des Jahrbuchs berichtet werden wird (siehe JFM 20.0662.01), spricht der Verf. eine Fülle schöner Eigenschaften derjenigen unter diesen Mannigfaltigkeiten aus, welche die (endliche) grösste Anzahl von Doppelpunkten besitzen. Wir werden eine der in Rede stehenden Mannigfaltigkeiten mit \(\varGamma\), ihre singulären Punkte mit den Ziffern 0, 1, …, 9. bezeichnen.
Zunächst beschäftigt sich der Verf. mit der Configuration, welche diese Punkte bilden. Er findet, dass sie zu je vier auf 15 Ebenen liegen, den einzigen, welche \(\varGamma\) enthält; diese Ebenen bilden 6 Gruppen, deren jede aus 5 Ebenen besteht, die sich ihrerseits in den Doppelpunkten von \(\varGamma\) schneiden. Bezeichnet man die Ebene, in welcher die durch die Ziffern \(a, b, c, d\) benannten singulären Punkte liegen, mit \(abcd\), so treten die Eigentümlichkeiten der Configuration in der folgenden Tabelle klar zu Tage: \[ \begin{matrix}\r\quad & \l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\\ \text{I.} & 0126,& 0789,& 4567,& 2348,& 1359. \\ \text{II.} & 0345,& 0789,& 1237,& 1568,& 2469. \\ \text{III.} & 0258,& 0149,& 1237,& 4567,& 3689. \\ \text{IV.} & 0367,& 0149,& 1568,& 2348,& 2579. \\ \text{V.} & 0367,& 0258,& 2469,& 1359,& 1478. \\ \text{VI.} & 0345,& 0126,& 1478,& 2579,& 3689. \end{matrix} \] Die Mannigfaltigkeit \(\varGamma\) enthält sechs Systeme \(\infty^2\), von solchen Geraden, dass durch jeden Punkt von \(\varGamma\) eine Gerade jedes Systems geht und auf jedem (dreidehnigen) Raume zwei Gerade jedes Systems liegen. Die Betrachtung dieser Systeme führt den Verf. zur Erzeugung der Mannigfaltigkeit durch drei “Netze” (wenn man dasjenige Gebilde Netz nennt, welches aus Räumen besteht und eine Gerade als Träger hat); diese drei Netze \(r_1, r_2, r_3\) sind durch eine solche projectivische Beziehung verbunden, dass es drei Ternen entsprechender Räume giebt, welche sich in einer Ebene schneiden, welche die Geraden \(r_1, r_2, r_3\) trifft. Eine andere wichtige Definition von \(\varGamma\) zeigt sie als Ort der \(\infty^2\) Geraden, welche vier unabhängige Ebenen treffen; merkwürdiger Weise treffen diese Geraden auch eine fünfte Ebene, welche durch die Annahme jener vier anderen völlig bestimmt ist und leicht construirt werden kann.
Die Mannigfaltigkeit \(\varGamma\) wird durch 15 involutorische Homographien, deren jede eine Ebene von \(\varGamma\) als Axenebene besitzt, in sich selbst übergeführt.
Projicirt man \(\varGamma\) aus einem ihrer Punkte \(P\), so erhält man als Umrissschein eine Kummer’sche Fläche \(\varPhi^4\); dabei geben die sechs Geradensysteme von \(\varGamma\) als Projectionen die sechs Strahlensysteme, von denen \(\varPhi^4\) die Brennfläche ist. Diese Betrachtungsweise führt leicht zu den Eigenschaften der Kummer’schen Fläche \(\varPhi^4\) und ermöglicht es auch, aus den bekannten Sätzen über \(\varPhi^4\) ebenso viele Theoreme über \(\varGamma\) zu folgern. Wenn dagegen das Projectionscentrum \(P\) ausserhalb der Mannigfaltigkeit \(\varGamma\) liegt, so ist der Umrissschein die allgemeinste Oberfläche \(\varPhi^6\) sechster Ordnung und vierter Klasse, welche den Durchschnitt einer Oberfläche zweiter Ordnung mit einer kubischen als Cuspidallinie hat und zehn Doppelpunkte besitzt, welche sich zu je vier auf 15 doppeltberührenden Ebenen verteilen; die Eigenschaften von \(\varPhi^6\) folgen aus denen der Mannigfaltigkeit \(\varGamma\). Diese Oberfläche ist Brennfläche für sechs Strahlensysteme dritter Ordnung und zweiter Klasse. Der Verf. hebt mit Recht den eigentümlichen Zusammenhang hervor, welcher hiermit zwischen sechs homofocalen Strahlensystemen (3,2) und sechs analogen (2,2) hergestellt ist, und welcher darin besteht, dass sie beide als die Projectionen derselben Geradensysteme einer kubischen Mannigfaltigkeit angesehen werden können.
Man projicire die Mannigfaltigkeit \(\varGamma\) aus einem beliebigen Punkte \(P\) auf einen Raum \(R\) und aus einem ihrer Doppelpunkte auf einen anderen Raum \(R'\). Lässt man zwei Punkte von \(R\) und \(R'\), welche die Projectionen eines und desselben Punktes von \(\varGamma\) sind, sich gegenseitig entsprechen, so gelangt man zu einer Verwandtschaft zwischen \(R\) und \(R'\), welche zwei- oder dreideutig ist, je nachdem \(P\) auf \(\varGamma\) liegt oder nicht. Von dieser Verwandtschaft ermittelt der Verf. die wesentlichsten Eigenschaften. Wir beschränken uns auf die Bemerkung, dass ihm zufolge die Uebergangsfläche eine \(\varPhi^4\) oder \(\varPhi^6\) ist, jenachdem die Transformation zwei- oder dreideutig ist, und dass die Doppelfläche in jedem Falle eine Oberfläche vierter Ordnung ist, welche zu Doppelpunkten die 9 Schnittpunkte dreier Erzeugenden eines Systems einer Oberfläche zweiter Ordnung mit drei Erzeugenden des anderen Systems hat.
Jede kubische mit einer Ebene versehene Mannigfaltigkeit des vierdehnigen Raumes kann als die Projection der Mannigfaltigkeit \(M_3^{2,2}\) angesehen werden, welche die Basis eines Büschels von Quadriflächen des fünfdehnigen Raumes bildet, wenn man von einem willkürlichen Punkte der Mannigfaltigkeit aus projicirt. Diese Bemerkung verknüpft die Erforschung der besagten kubischen Mannigfaltigkeiten des vierdehnigen Raumes, welche Ebenen enthalten, mit der Erforschung der biquadratischen Mannigfaltigkeiten \(M_{3}^{2,2}\) des fünfdehnigen Raumes; und da diese Mannigfaltigkeiten, ausser wenn sie die Basen von Kegelbüscheln sind, als Liniencomplexe zweiten Grades unseres Raumes gedeutet werden können, während jene Mannigfaltigkeiten durch ihre Umrisse eine ausgedehnte Klasse von Oberflächen vierter und sechster Ordnung ergeben, so gelangt man damit zu einer unvermuteten Beziehung zwischen diesen Oberflächen und den quadratischen Complexen. Durch Anwendung dieser Beobachtungen auf die Mannigfaltigkeit \(\varGamma\) stellt der Verf. einen Zusammenhang zwischen der Kummer’schen Fläche und einem tetraedralen Complexe her; man kann nämlich denselben als eine Abbildung des tetraedralen Complexes auf einem Doppelraume betrachten, dessen Uebergangsfläche die Kummersche Fläche ist.

Citations:

JFM 20.0662.01
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