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JFM 19.0438.01
Lerch, M.
Note on the fonction ${\germ K}(w,x,s)= \sum^{\infty}_{k=0}\frac{e^{2k\pi ix}}{(w+k)^s}$. (Note sur la fonction ${\germ K}(w,x,s)=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{e^{2k\pi ix}}{(w+k)^s}$.) (French)
[J] Acta Math. XI, 19-24 (1887). ISSN 0001-5962; ISSN 1871-2509/e

Durch Anwendung der Methode, deren Riemann sich in seiner Abhandlung über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Berl. Monatsber. Nov. 1859; Ges. W. p. 136 ff.) bedient hat, wird gezeigt, dass die obige Reihe ${\germ K}(w,x,s)$, die sich auch durch $\frac1{\varGamma(s)}\int^{\infty}_0\frac{e^{-wz}z^{s-1}dz}{1-e^{2\pi i-z}}$ darstellen lässt, eine ganze, transcendente Function von $s$ ist, und die Relation hergeleitet $${\germ K}(w,x,1-s)= \frac{\varGamma(s)} {(2\pi)^s}\left\{e^{\pi i(\frac12 s-2wx)}{\germ K}(x,-w,s)+e^{\pi i(-\frac12+2w(1-x))}.{\germ K}(1-x,w,s) \right\},$$ wenn der imaginäre Teil von $x$ positiv, $w$ ein positiver, echter Bruch und der reelle Teil von $s$ positiv ist; liegt dieser in dem Intervall $0\dots1$, so gilt die Formel auch für reelle Werte von $x$. Als specieller Fall ergiebt sich die von Herrn Kronecker (Berl. Ber. April 1883 und Juli 1885) benutzte Gleichung $\frac{2\pi ie^{2\pi iwx}}{1-e^{w\pi ix}}=\lim_{n=\infty}\sum^n_{k=-n}\frac{e^{2kw\pi i}}{k-x}$ (Lipschitz in J. für Math. LIV. 320). Man vergleiche die inzwischen erschienene Arbeit des Herrn Lipschitz in J. für Math. CV. 127 ff.
(Data of JFM: JFM 19.0438.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Toeplitz, Dr. (Breslau)]

MSC 2000:: *11M35 Other zeta functions

Keywords: Lerch zeta function; Rieamnn zeta function; functional equation

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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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