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Sull’ equilibrio di un corpo rigido soggetto a forze costanti in direzione ed intensità e su alcune questioni geometriche affini. (Italian) JFM 16.0776.01

Nap. Mem. (3) VI. 35 S. (1884).
Ein Punkt \((xyz)\) eines starren Punktsystems sei Angriffspunkt einer Kraft mit den Componenten \(X\), \(Y\), \(Z\). Sind alle, die einzelnen Punkte des Systems angreifenden, Kräfte nach Grösse und Richtung constant, während der Körper seine Stellung im Raume ändert, so ist die Bedingung für das Gleichgewicht \(\varSigma (Xdx+Ydy+Zdz)=0\) oder \(dU=0\), wenn \(U=\varSigma(Xx+Yy+Zz)\), d. h. \(U\) hat in den Gleichgewichtslagen ein Maximum oder ein Minimum. Wenn ein Punkt \(O\) des Körpers fest ist, so kann jede Lagenänderung durch eine Drehung um eine Axe bewerkstelligt werden, deren Richtungscosinus \(l\), \(m\), \(n\) seien, während die Amplitude der Rotation den Wert \(\Theta\) habe. Statt dieser vier Grössen betrachte man die folgenden als die bestimmenden für die Rotation: \[ x_0=\cos \tfrac 12 \Theta, \quad x_1=l\sin{} \tfrac 12 \Theta, \quad x_2=m \sin{} \tfrac 12 \Theta, \quad x_3=n\sin{} \tfrac 12 \Theta. \] (Also \(x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=1)\). Trägt man auf der Rotationsaxe die Länge tg\(\frac 12 \Theta\) auf, so erhält man einen Punkt mit den Coordinaten \(l\)tg\(\frac 12 \Theta\), \(m\)tg\(\frac 12 \Theta\), \(n\)tg\(\frac 12 \Theta\). Diesen Punkt kann man daher als geometrischen Repräsentanten der Rotation, als “Pol” derselben ansehen, \(x_0,x_1,x_2,x_3\) als seine homogenen Coordinaten. Somit sind die verschiedenen Punkte des Raumes die Bilder aller Rotationen um \(O\). Da die Werte der Coordinaten des Punktes \((xyz)\) nach der Rotation sich quadratisch in \(x_0,x_1,x_2,x_3\) ausdrücken, so geht \(U\) in eine quadratische Form dieser Grössen über \(U=\Sigma a_{ik}x_i x_k \;(a_{ik}=a_{ki}). \) Diejenigen Punkte des Raumes, für welche \(U\) den constanten Wert \(u\) hat, sind durch die Gleichung bestimmt \(\Sigma a_{ik} x_i x_k -u\Sigma x_i^2=0. \) Diese in Bezug auf die \(x_i\) homogene Gleichung kann bei veränderlichem \(u\) als ein Büschel von Oberflächen zweiter Ordnung aufgefasst werden, die durch den Schnitt der beiden Flächen \(\Sigma a_{ik}x_i x_k =0\) und \(\Sigma x_i^2=0\) (letztere eine imaginäre Kugel) gehen. mit Hülfe dieses Büschels von Flächen zweiter Ordnung löst der Herr Verfasser auf höchst elegante Weise die Fragen nach den Quaternen statischer Axen des Herrn Siacci und andere Aufgaben über die Art des Gleichgewichts, über den Grad (sechs) und sonstige Eigenschaften des Complexes der den verschiedenen Punkten des Raumes entsprechenden statischen Axen, über gewisse Punkte, für welche unendlich viele Gleichgewichtslagen vorhanden, etc. Dann wird die Frage nach den Gleichgewichtslagen erledigt, wenn eine Gerade des Körpers festgehalten wird. Es ergeben sich zwei solche Lagen. Ferner werden zwei merkwürdige Geraden durch jeden Punkt des Raumes gefunden; wird eine festgehalten, so ist der Körper stets im Gleichgewicht. Diese Geraden erfüllen eine quadratische Congruenz; letztere gehört dem linearen Complexe an, für welche das Moment des Kräftesystems Null ist, ausserdem als Congruenz doppelter Geraden dem Complexe der astatischen Geraden. Die Brennfläche dieser Congruenz wird genauer untersucht, und mit ihrer Hülfe folgen Kriterien für die Art des Gleichgewichts. Neben vielen anderen interessanten Betrachtungen ergiebt sich auch ein einfacher Beweis für den Satz von Minding, und zuletzt werden Verallgemeinerungen der geometrischen Untersuchungen angedeutet.