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Sulla curva gobba del quarto ordine dotata di punto doppio. (Italian) JFM 16.0711.02

Nach einer Bemerkung von Herrn Em. Weyr (Math. Ann. IV. 244) kann die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass vier Punkte einer mit einem Doppelpunkte behafteten Raumcurve vierter Ordnung in einer Ebene liegen, auf die Form \(\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4 =k\) gebracht werden, wo die \(\xi_i\) die Parameterwerte jener vier Punkte sind. Hiervon ausgehend, findet Herr Brambilla auf sehr einfache Art einige Eigenschaften dieser Curve in Bezug auf ihre vier stationären Ebenen, ihre Hauptsehnen, die Kegel zweiten Grades, auf denen sie liegt, etc. Diese Resultate waren übrigens fast alle bekannt, teils durch die Arbeiten über die allgemeinen rationalen Raumcurven vierter Ordnung (Raumcurven vierter Ordnung zweiter Species), insbesondere durch die vom Herrn Verfasser mehrmals citirten Arbeiten der Herren Bertini und Armenante, teils auch als besondere Fälle von Eigenschaften elliptischer Raumcurven vierter Ordnung. Bei dieser Gelegenheit ist zu bemerken, dass für eine allgemeine Curve erster Species eine beliebege Tangente nicht bloss zu sechs dieser Curve umgeschriebenen Vierseiten gehört, wie der Verfasser durch ein unvollständiges Schlussverfahren findet, sondern vielmehr zu 18. Am Schlusse der Note befindet sich ein kurz so auszusprechender Satz: Wenn drei Ebenen \(\lambda,\mu,\nu\) die Curve bezw. in \(\lambda_i,\mu_i,\nu_i\) \((i=1,2,3,4)\) schneiden, und wenn die vier \(\lambda_i,\mu_i,\nu_i\) verbindenden Ebenen (für dasselbe \(i\)) sie ausserdem in \(\omega_i\) schneiden, so liegen die vier Punkte \(\omega_i\) auf einer neuen Ebene \(\omega\). Aber auch dieser Satz, von dem der Verfasser mehrere besondere Fälle betrachtet, gilt für die allgemeinen Raumcurven vierter Ordnung erster Species und ist selber ein besonderer Fall bekannter, viel allgemeinerer Sätze über die Durchschnitte von Raumcurven mit Oberflächen.

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