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Contribuzione alla teoria delle 27 rette e dei 45 piani tritangenti di una superficie di \(3^\circ\) ordine. (Italian) JFM 16.0587.01

Das Gebilde der 27 Geraden und der 45 dreifach berührenden Ebenen einer kubischen Oberfläche, das nach den Untersuchungen so vieler Geometer auf den ersten Blick genau bekannt scheinen musste, war es im Grunde nicht. Herr R. Sturm hat in seiner jüngsten Arbeit “Ueber die 27 Geraden der kubischen Fläche” (Klein Ann. XXIII. cf. das Referat S. 585, JFM 16.0585.02) eine Reihe von Eigenschaften dieses Gebildes besonders bezüglich der Geraden und der von ihnen auf der Fläche gebildeten Vielecke angegeben, die noch ganz unbekannt waren. Herr Bertini ist nunmehr durch eine lange und anhaltende Erforschung des Systems der dreifach berührenden Ebenen dazu geführt worden, sich nach dieser Richtung hin ganz neue Aufgaben zu stellen, deren Bedeutung durch das Nachfolgende erhellen wird, und sie zu lösen.
Die Arbeit enthält die hierher gehörigen Untersuchungen des Herrn Bertini, der in zwei Noten, die in den Lomb. Ist. Rend. (2) XVII. veröffentlicht sind (siehe das vorangehende Referat, JFM 16.0586.01), die meisten neuen Ergebnisse zusammengefasst hat, die in den neun ersten Paragraphen von den 14 enthalten sind, in welche jene eingeteilt ist. Der Hauptzweck ist die nach synthetischer Methode geführte Untersuchung der aus den 45 dreifach berührenden Ebenen einer kubischen Fläche so zu bildenden Polyeder, dass keine Kante ihr angehöre. (Wir wollen sie mit dem Verfasser schlechthin “Polyeder”, Trieder, Tetraeder etc. nennen, und ebenso “Ebene” und “Gerade” statt “dreifach berührende Ebene” und “Gerade der Oberfläche” sagen.) Die von dem Verfasser gestellte und vollständig gelöste Aufgabe, nämlich alle möglichen Polyeder zu bestimmen und ihre Anzahl für jede Art festzustellen, war bislang noch nicht in Angriff genommen worden.
Im ersten Paragraphen wird folgender Satz aufgestellt: In Bezug auf eins von den 120 Paaren conjugirter Trieder scheiden sich die anderen 119 in vier Gruppen von je 2, 27, 36, 54, je nachdem sie nichts (weder Ebenen noch Geraden) mit dem gegebenen Paare gemeinsam haben, oder mit ihm bezw. zwei Ebenen (und fünf Geraden), eine Ebene (und drei Geraden), ein Paar windschiefer Geraden (und keine Ebene) gemeinsam haben. Der erste Fall giebt das von Steiner entdeckte System von drei Paaren conjugirter Trieder, welche zusammen die 27 Geraden enthalten, ein vom Verfasser “Terne” genanntes System. Herr Cremona (“Sulle 27 rette di una superficie di \(3^\circ\) ordine”. Ist. Lomb. Rend. 1870 (2) III. 209-219, F. d. M. II. 1870. 578, JFM 02.0578.02) hat das Vorhandensein zweier Arten von Enneaedern bewiesen, die man erster oder zweiter Art nennt, je nachdem sie auf vier Arten oder nur auf eine in drei Trieder zerfallen (oder nach dem Ausdrucke des Verfassers, je nachdem sie zu vier Ternen oder nur zu einer gehören). Es giebt 40 der ersten, 160 der zweiten Art. Auch in den §§2 und 5 beschäftigt sich der Verfasser mit diesen Enneaedern und beweist manche Eigenschaften derselben, von denen die Mehrzahl sich bei Herrn Cremona findet, von denen aber auch einige auf die zweite Art bezügliche neu sind, z. B.: In Bezug auf ein Enneaeder zweiter Art scheiden sich die anderen l59 in vier Gruppen von 21, 81, 30, 27, die bezw. mit ihm keine, eine, drei, vier Ebenen gemeinschaftlich haben. Ein anderer Satz zeigt, wie sich in Bezug auf ein Enneaeder einer Art die einer anderen scheiden.
Im §3 wird bewiesen, dass in Bezug auf eine von den 40 Ternen \(T\) die anderen 39 sich in zwei Gruppen von 12 und 27 teilen, je nachdem sie mit der gegebenen Terne ein Enneaeder (erster Art) oder sechs Ebenen gemein haben, die sich auf der Trieder verteilen lassen. Bei zwei Ternen, die ein Enneaeder gemein haben, hat jedes Paar der einen mit jedem der anderen eine Ebene gemein. Dagegen ist bei zwei Ternen, die sechs Ebenen gemein haben, jedes Paar der einen einem der anderen derartig zugeordnet, dass zwei zugeordnete Paare zwei Ebenen gemein haben (und die drei Schnittgeraden dieser gemeinschaftlichen Ebenen in einer Ebene liegen). Man kann auch die 40 Ternen \(T\) in Bezug auf ein Enneaeder erster Art in folgender Weise anordnen (§4). Das Enneaeder gehört zu vier Ternen, von denen jede noch drei Enneaeder enthält, und jedes von diesen gehört noch zu drei Ternen. Als Anwendung dieser Resultate folgt eine Construction der 40 Ternen \(T\).
Der §6 enthält eine Sonderung der Trieder in drei Arten: Bei 2880 Triedern (erster Art) giebt es keine conjugirten Ebenen (Ebenen, die eine Gerade jeder Trieder-Ebene enthalten); 2160 Trieder (zweiter Art) haben eine conjugirte Ebene, und 240 Trieder (dritter Art) haben zwei und deshalb drei conjugirte Ebenen (diese Trieder dritter Art bilden die 120 Steiner’schen, bisher betrachteten Trieder-Paare). Die Beziehungen dieser Trieder zu den Enneaedern werden aufgefunden, unter anderem gelten folgende zwei Sätze: “Wenn \(abc\) ein Trieder zweiter Art ist (\(a,b,c\) seine Ebenen) und wenn drei von den vier Triedern \(abc',\;ab'c,\;a'bc,\;a'b'c'\) dritter Art sind, so ist das vierte auch von der dritten Art.” “Wenn \(abc\) ein Trieder erster Art ist und \(abc',\;ab'c,\;a'bc,\;a'b'c'',\;a'b''c',\;a''b'c'\) dritter Art sind, so sind die beiden Trieder \(a'b'c',\;a''b''c''\) erster, dagegen \(a''b''c,\;a''bc'',\;ab''c''\) dritter Art. Ferner \(aa'a'',\;bb'b'',\;cc'c''\) dritter Art.” Einen “Cyklus” bilden nach dem Ausdrucke des Verfassers die drei Trieder \(abc,\;a'b'c',\;a''b''c''\), von denen ein beliebiges das folgende durch die Construction der Trieder dritter Art erzeugt, die durch seine paarweise zusammen genommenen Ebenen gebildet werden. Die neun Ebenen eines Cyklus bilden ein Enneaeder erster Art; es giebt 960 Cyklen, und jedes Enneaeder erster Art enthält 24 von ihnen.
Von §7 an beschäftigt sich der Herr Verfasser mit der Lösung der von ihm aufgestellten Frage nach der Bestimmung der verschiedenen Polyeder. Wenn man “Haupt”-Polyeder ein solches nennt, das in keinem anderen von höherer Ordnung (Anzahl von Ebenen) enthalten ist, so handelt es sich vor allem darum, die Haupt-Polyeder aufzufinden. Auf streng methodischem Wege gelangt der Verfasser zu folgendem Ergebnisse (§9): Die Haupt-Polyeder sind die Enneaeder erster Art, die zweiter Art, eine gewisse Art von Heptaedern und eine gewisse Art von Pentaedern”. Haupt-Pentaeder (§7) giebt es 216, und dieselben haben die Eigenschaft (für sie unter den Haupt-Polyedern charakteristisch), dass alle 10 in ihnen enthaltenen Trieder zweiter Art sind. Die 12 Geraden, welche keiner Ebene eines dieser Pentaeder angehören, bilden eine Doppelsechs. Umgekehrt, die 15 Geraden, welche nach Wegnahme der 12 einer Doppelsechs von den 27 Geraden übrig bleiben, liegen auf sechs Haupt-Pentaedern, d. h. können auf sechs verschiedene Arten als Schnitt der Oberfläche mit fünf Ebenen betrachtet werden; die 15 Ebenen, welche die 15 Geraden enthalten, sind die fünf Ebenen eines Pentaeders und die 10 den 10 Triedern desselben conjugirten Ebenen. (Dieser letzte Satz war auf andere Art schon früher durch Herrn Cremona in der Abhandlung entdeckt: Teoremi stereometrici dai quali si deducono le proprietà dell’ esagrammo di Pascal. Rom. Acc. L. Mem. (3) I). Für die Haupt-Heptaeder, auf die dem Anscheine nach noch keine Untersuchung gestossen war, findet man die folgenden Eigenschaften §8: “Die sieben Ebenen eines Haupt-Heptaeders scheiden sich (in eindeutiger Weise) in zwei Ternen \(x_1x_2x_3,\;y_1y_2y_3\) und eine Ebene \(z\). Die beiden Ternen sind zwei Trieder zweiter Art. Die Ebene giebt zu Triedern zweiter Art Anlass, einmal mit zwei beliebigen Ebenen jeder Terne, ein anderes Mal mit jeder Ebene \(x_i\) der einen und der entsprechenden \(y_i\) der anderen. Andere Trieder zweiter Art werden durch eine Ebene einer Terne nebst den beiden nicht entsprechenden der anderen \((x_1y_2y_3,\dots;x_2x_3y_1,\dots)\) geliefert. Somit hat man 17(=2+2.3+3+2.3) Trieder zweiter Art. Die anderen 18(=3.2+2.3.2) Trieder \(zx_1y_2,\dots,x_1y_1y_2, \dots;y_1x_1x_2,\dots)\) sind erster Art”. Ein Haupt-Heptaeder kann aus einem Haupt-Pentaeder erhalten werden, indem man eine seiner Flächen entfernt und durch drei andere ersetzt, die bezw. durch die drei Geraden dieser selben Fläche gehen. Hiernach entspricht ein Haupt-Pentaeder 40 Haupt-Heptaedern, während ein Haupt-Heptaeder zwei Haupt-Pentaedern entspricht. Es giebt 4320 Haupt-Heptaeder. Die 6 Geraden, welche nach Wegnahme der zu einem Haupt-Heptaeder gehörigen 21 übrig bleiben, liegen auf einer Oberfläche zweiter Ordnung, bilden also zwei ergänzende Tripel nach der von Herrn Sturm in der citirten Abhandlung eingeführten Benennung. Umgekehrt, die nach Ausschluss der sechs Geraden zweier ergänzenden Tripel übrig bleibenden 21 Geraden bilden auf zwölf verschiedene Arten den vollständigen Schnitt der Oberfläche mit einem Heptaeder; diese zwölf Heptaeder scheiden sich in sechs Paare. Zwei Heptaeder eines Paares haben eine nämliche Ebene \(z\) und die sechs Ebenen \(z\) sind die Ebenen eines Paares conjugirter Trieder. Die 24, je drei der 21 Geraden enthaltenden Ebenen sind bei jedem der zwölf Heptaeder die sieben Ebenen desselben und die 17 seinen 17 Triedern zweiter Art conjugirten Ebenen.
Nachdem die Haupt-Polyeder gefunden und erforscht sind, bietet die Untersuchung aller möglichen Polyeder keine andere erhebliche Schwierigkeit als die, zu erkennen, ob Polyeder, die in veischiedenen Haupt-Polyedern enthalten sind und gewisse gemeinschaftliche Charaktere besitzen, verschieden sind oder nicht. Der Verfasser findet, dass jede Polyederart durch vier Zahlen charakterisirt ist, nämlich die Ordnung des Polyeders und die drei Zahlen, welche angeben, wie viel Trieder der verschiedenen Arten im Polyeder enthalten sind. Er stellt durch das Symbol \((t_1,t_2,t_3)^n\) ein Polyeder der Ordnung \(n\) dar, das \(t_1\) Trieder erster, \(t_2\) zweiter, \(t_3\) dritter Art umfasst, so dass \(\frac 16n(n-1)(n-2)=t_1+t_2+t_3\). Somit findet er die folgenden Polyeder-Arten, neben die wir überall die Totalzahl der von ihnen existirenden setzen:
Trieder. 2880 \((1,0,0)^3\); 2160 \((0,1,0)^3\); 240 \((0,0,1)^3\).
Tetraeder. 2160 \((4,0,0)^4\); 2880 \((3,0,1)^4\); 12960 \((2,2,0)^4\); 1080 \((0,4,0)^4\).
Pentaeder. 2880 \((9,0,1)^5\); 2160 \((8,0,2)^5\); 4320 \((6, 3,1)^5\); 12960 \((6,4,0)^5\); 5184 \((5,5,0)^5\); 6480 \((4,6,0)^5\); 216 \((0,10,0)^5\).
Hexaeder. 480 \((18,0,2)^6\); 2880 \((17,0,3)^6\); 8640 \((13,6,1)^6\); 4320 \((12,8,0)^6\); 12960 \((10,10,0)^6\).
Heptaeder. 1440 \((30, 0, 5)^7\); 1440 \((24,9,2)^7\) 4320 \((22,12,1)^7\); 4320 \((18,17,0)^7\).
Oktaeder. 360 \((48,0,8)^8\); 1440 \((36,18,2)^8\).
Enneaeder. 40 \((72,0,12)^9\); 160 \((54,27,3)^9\).
Für jede Polyeder-Art findet der Verfasser auch den Weg, sie aus einem Haupt-Polyeder zu erhalten, und im letzten Paragraphen fasst er alle diese Ergebnisse in einer Tabelle zusammen.

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