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Sopra alcune trasformazioni involutorie del piano. (Italian) JFM 16.0540.04

Diese Arbeiten (siehe auch JFM 16.0540.03) führen die zur Aufstellung der verschiedenen rationalen ebenen involutorischen Transformationen dienenden Untersuchungen weiter, die besonders von Herrn Bertini herrühren. Bekanntlich hat Herr Caporali in einer gelesenen Arbeit über diese Involutionen manche Ideen angegeben, die sich später als ungemein wichtig für diese Theorie erwiesen haben; unter ihnen braucht man hier nur den Gedanken hervorzuheben, die ebenen Involutionen nicht bloss nach ihrer “Ordnung” zu unterscheiden, d.h. nach der Ordnung der Curven \(C\), die den Geraden der Ebene entsprechen, sondern auch nach ihrer “Klasse”, der Anzahl der Paare verschiedener conjugirter Punkte, die auf jeder Geraden liegen; ferner den anderen Gedanken, jede Involution nicht nur mit dem Netze der Curven \(C\) in Beziehung zu setzen, sondern auch mit dem der Curven \(\varOmega\), den Oertorn der conjugirten, mit einem festen Punkte alineirten Punktepaare. Die Unterscheidung der Involutionen nach der Klasse hat sich für ihre Klassificirung als fruchtbarer erwiesen, als die nach ihrer Ordnung. Herr Bertini nämlich, der die Gedanken von Herrn Caporali entwickelt und neue wichtige Resultate hinzugefügt hat, konnte alle involutorischen Transformationen erster und zweiter Klasse aufstellen; und jetzt findet Herr Martinetti, unter Benutzung von Schlussfolgerungen derselben Art wie Herr Bertini, alle involutorischen Transformationen dritter und vierter Klasse; auch erforscht er sorgfältig die Configurationen ihrer Grundpunkte und die Art ihrer Construction. Nach einer Bemerkung des Verfassers am Schlusse der ersten Arbeit gelangt man so unter anderem zur Kenntnis aller involutorischen Transformationen, deren Ordnung \(\leqq 10\) ist. (Eine einzige zehnter Ordnung und fünfter Klasse, welche nicht in die schon erforschten Kategorien fällt, wird vom Verfasser kurz für sich untersucht.)
Herr Martinetti teilt (wie Herr Bertini) in jeder Klasse die involutorischen Transformationen in verschiedene “Arten”; alle von derselben Art haben Netze \(\varOmega\) von nämlicher Beschaffenheit und können aus der allgemeinsten abgeleitet werden, indem man unter den Grundpunkten alle möglichen Alineirungen auf Geraden annimmt, welche die Beschaffenheit des Netzes \(\varOmega\) nicht ändern, sondern die im Gegenteil durch Erzeugung einer Zerlegung der Curven \(C\) und der Curve der Doppelpunkte die Ordnung der Involution erniedrigen und ihre Beschaffenheit ändern. Da es bei jeder Art eine grosse Anzahl verschiedener involutorischer Transformationen giebt, die diesen Alineirungen entsprechen, wollen wir uns hier auf die Aufzählung der verschiedenen Arten beschränken.
Für die “Involutionen dritter Klasse” sind die Curven \(\varOmega\) siebenter Ordnung (mit sechs veränderlichen Schnittpunkten); ihr Netz kann die folgenden Fälle darbieten, (wo das Zeichen \(i_\mu^\lambda\) bedeutet, dass die \(\varOmega\) den Grundpunkt \(i\) als \(\lambda\)-fach haben nebst \(\mu\) festen gemeinschaftlichen Tangenten mit der Grundcurve, die diesem Punkte entspricht, und wo diese Indices nicht gesetzt werden, wenn bezw. \(\lambda=1,\mu=0\) ist):
Art 1. \(\varOmega=(1_4^5\;2\;3\dots 15)_7\); drei Jonquières’sche Involutionen von den Ordnungen 8, 7 und 6.
Art 2. \(\varOmega=(1_2^4\;2^2\;3^2\;4^2\;5^2\;6^2\;7\;8\;9\;10\;11)_7\); vier Involutionen, von denen die allgemeinste die \[ C=(1^7\;2^3\;3^3\;4^3\;5^3\;6^3\;7\;8\;9\;10\;11)_{10} \] hat.
Art 3. \(\varOmega=(1^3\;2^3\;3^3\;4^3\;5\;6\;7\;8\;9\;10\;11)_7\); 11 Fälle, deren allgemeinster \[ C=(1^7\;2^7\;3^7\;4^7\;5^2\;6^2\;7^2\;8^2\;9^2\;10^2\;11^2)_{15} \] ist.
Art 4. \(\varOmega=(1^3\;2^3\;3^2\;4^2\;5^2\;6^2\;7^2\;8^2\;9)_7\); 14 Fälle, deren allgemeinster \[ C=(1^7\;2^7\;3^4\;4^4\;5^4\;6^4\;7^4\;8^4\;9)_{14} \] ist.
Art 5. \(\varOmega=(1_2^3\;2_2^3\;3^2\;4^2\;5^2\;6^2\;7\;8\;9\;10\;11)_7\); ein einziger Fall, bei welchem \[ C=(1^3\;2^3\;3^2\;4^2\;5^2\;6^2\;7)_6 \] ist.
Die involutorischen Transformationen vierter Klasse haben Curven \(\varOmega\) neunter Ordnung (mit 8 variablen Schnittpunkten); 7 Arten:
Art 1. \(\varOmega=(1_6^7\;2\;3\dots\;19)_9\); drei Jonquières’sche Involutionen von den Ordnungen 10, 9 und 8.
Art 2. \(\varOmega=(1_2^5\;2^3\;3^3\;4^3\;5^2\;6^2\;7^2\;8^2\;9\;10\;11)_9\); 15 Fälle, deren allgemeinster \[ C=(1^9\;2^5\;3^5\;4^5\;5^3\;6^3\;7^3\;8^3\;9\;10\;11)_{14} \] ist.
Art 3. \(\varOmega=(1^4\;2^4\;3^4\;4^4\;5\;6\;7\dots 13)_9\); 11 Fälle, deren allgemeinster \[ C=(1^9\;2^9\;3^9\;4^9\;5^2\;6^2\;7^2\dots 13^2)_{19} \] ist.
Art 4. \(\varOmega=(1_2^4\;2_2^4\;3_2^4\;4^2\;5^2\;6^2\;7\;8\;9\;10\;11\;12\;13)_9\); ein einziger Fall, so dass \[ C=(1^4\;2^4\;3^4\;4^2\;5^2\;6^2\;7\;8\;9)_8 \] ist.
Art 5. \(\varOmega=(1_2^4\;2_2^4\;3^3\;4^2\;5^2\;6^2\;7^2\;8^2\;9\;10\;11)_9\); zwei Fälle, deren allgemeinster \[ C=(1^5\;2^5\;3^4\;4^4\;5^2\;6^2\;7^2\;8^2\;9)_{10} \] ist.
Art 6. \(\varOmega=(1^4\;2^3\;3^3\;4^3\;5^3\;6^3\;7^2\;8^2\;9^2)_9\); zehn Fälle, deren allgemeinster \[ C=(1^9\;2^6\;3^6\;4^6\;5^6\;6^6\;7^3\;8^3\;9^3)_{17} \] ist.
Art 7. \(\varOmega=(1^3\;2^3\;3^3\;4^7\;5^3\;6^3\;7^3\;8^3\;9)_9\); neun Fälle, deren allgemeinster \[ C=(1^6\;2^6\;3^6\;4^6\;5^6\;6^6\;7^6\;8^6)_{17} \] ist.

Citations:

JFM 16.0540.03
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