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JFM 14.0371.01
Hurwitz, Adolf
Some properties of the Dirichlet functions $F(x)= \varSigma \left( \frac{D}{n} \right) \frac{1}{n^{s}}$ occurring in the determination of the class numbers of binary quadratic forms. (Einige Eigenschaften der Dirichlet'schen Functionen $F(x)= \varSigma \left( \frac{D}{n} \right) \frac{1}{n^{s}}$, die bei der Bestimmung der Klassenzahlen binärer quadratischer Formen auftreten.) (German)
[J] Schlömilch Z. 27, 86-102 (1882).

Durch Vergleichung der beiden von Herrn Schlömilch gegebenen Relationen $$f(s)= { \left( \frac{2}{\pi} \right) }^{2} \cdot \sin \left( \frac{s \pi}{2} \right) \cdot \varGamma (s) \cdot f(s),$$ wo $$f(s)= \frac{1}{1^{s}} - \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{5^{s}} - \frac{1}{7^{s}} + \cdots + (1)^{n} \frac{1}{(2n+1)^s} + \cdots,$$ und $$\varphi (1-s) = \frac{2^{s}-1}{2^{s-1}-1} \cdot \frac{2}{(2\pi)^{s}} \cdot \cos \left( \frac{1}{2} s \pi \right) \cdot \varGamma (s) \cdot \varphi (s),$$ wo $$\varphi (s) = \frac{1}{1^{s}}-\frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} - \cdots + (-1)^{n} \frac{1}{n^{s}} + \cdots,$$ mit dervon Riemann (,,Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze``) betrachteten Function $$ \zeta (s)= \frac{1}{1^{s}} + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + \cdots + \frac{1}{n^{s}} + \cdots ,$$ für welche er u. A. die Gleichung $$ \zeta (1-s) = \frac{2}{(2 \pi)^{s}} \cos \left( \frac{s \pi}{2} \right) \cdot \varGamma (s) \cdot \zeta (s)$$ herleiteit, ist der Herr Verfasser zu allgemeinen, die obigen als specielle Fälle enthaltenden Sätzen, gelangt. Seine Untersuchungen betreffen die Dirichlet'sche Function $F(s,D)$, welche, wenn $$D \equiv 1 (\text {mod} 4) \text {ist} , = \frac{1}{1- (-1)^{\frac{D^{2}-1}{8}} \cdot \frac{1}{2^{s}}} \cdot \varSigma \left( \frac{D}{n} \right) \cdot \frac{1}{n^{s}},$$ in allen übrigen Fällen $ = \varSigma \left( \frac{D}{n} \right) \cdot \frac{1}{n^{s}}$ gesetzt wird, wo die Summe sich auf alle $n$ erstreckt, die positiv, ganzzahlig und relativ prim zu $2D$ sind. Als Resultat der Untersuchung ergeben sich folgende Sätze: \par I. ,,Die Functionen $F(s,D)$ sind durchaus eindeutige Functionen der complexen Variabeln $s$.`` II. ,,Alle Functionen $F(s,D)$, mit einziger Ausnahme von $F(s,1)$, haben einen endlichen Wert des Arguments s.`` III. ,,Die Function $F(s,1)$ hat für jeden im Endlichen gelegenen Wert von $s$ selbst einen endlichen Wert, mit Ausnahme der Stelle $s=1$, wo $F(s,1)$ so unendlich wird, dass $\lim [(s-1)F(s,1)]_{s=1}$ ist.`` IV. ,,Die Functionen $F(s,D)$ genügen folgenden einfachen Relationen: $$F(1-s,D)= \left( \frac{2 \pi}{\varkappa D} \right)^{1-s} \cdot \frac{\varGamma (s)}{\pi} \cdot \root\of{\varkappa D} \cdot \cos \left( \frac{s \varpi}{2} \right) \cdot F(s,D),$$ oder auch $$F(1-s,D)= { \left( \frac{\varkappa D}{\pi} \right) }^{s-\frac{1}{2}} \cdot \frac{\varGamma \left( \frac{s}{2} \right) }{\varGamma \left( \frac{1-s}{2} \right) } \cdot F(s,D),$$ wenn $D$ positiv ist; $$F(1-s,D)= { \left( \frac{2 \pi}{-\varkappa D} \right) }^{1-s} \cdot \frac{\varGamma (s)}{\tau} \cdot \root\of{- \varkappa D} \cdot \sin \left( \frac{s \pi}{2} \right) . F(s,D),$$ oder auch $$F(1-s,D)= { \left( \frac{- \varkappa D}{\pi} \right) }^{s- \frac{1}{2}} \cdot \frac{\varGamma \left( \frac{s}{2}+\frac{1}{2} \right)}{\varGamma \left( \frac{1-s}{2}+\frac{1}{2} \right) } \cdot F(s,D),$$ wenn $D$ negativ ist. Dabei ist $\varkappa=1$ für $D \equiv 1$ (mod.4) und $\varkappa =4$ in allen übrigen Fällen.``
(Data of JFM: JFM 14.0371.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Müller, F.; Dr. (Berlin)]

MSC 2000:: *11E16 General binary quadratic forms
11E41 Class numbers of quadratic and Hermitian forms
11E45 Analytic theory of forms
11M41 Other Dirichlet series and zeta functions

Keywords: Dirichlet functions; class numbers; binary quadratic forms

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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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