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JFM 13.0184.01
Jordan, C.
On Fourier series. (Sur la série de Fourier.) (French)
[J] C. R. XCII, 228-230 (1881). ISSN 0001-4036

Herr Jordan teilt folgenden Satz mit: ``Es seien $x_1 x_2\dots{}x_n$ eine Reihe von Werten des $x$ im Intervalle $(0, \varepsilon), y_1 y_2\dots{}y_n$ die entsprechenden Werte einer (eindeutigen und endlichen) Function $F(x)$. Die Punkte $x_1, y_1,\dots{}x_n, y_n$ bilden ein Polygon. Die Summe der positiven Glieder der Reihe $$y_2-y_1,\; y_3-y_2\;\dots{}\;y_n-y_{n-1}$$ heisse die positive Schwankung des Polygones, die Summe ihrer negativen Glieder die negative Schwankung; die Summe der absoluten Werte beider Zahlen die vollständige Schwankung. Aendert man das Polygon ab, so können folgende Fälle eintreten: 1) Es kann so gewählt werden, dass seine Schwankungen jede Grenze übersteigen; 2) wie auch das Polygon gewählt werden mag, seine positive und negative Schwankung können gewisse feste Grenzen $P_{\varepsilon}, N_{\varepsilon}$ nicht überschreiten. In letzterem Falle soll $F(x)$ eine Function mit endlicher Schwankung im Intervalle $(0, \varepsilon)$ heissen; $P_{\varepsilon}$ ihre positive, $N_{\varepsilon}$ ihre negative, $P_{\varepsilon}+N_{\varepsilon}$ ihre vollständige Schwankung.'' \par Dieses vorausgesetzt, folgt unmittelbar für alle Werte von $x$ im Intervalle $(0, \varepsilon)$ $$F(x)=F(0)+P_x-N_x,$$ so dass $F(x)$ als Differenz zweier Functionen erscheint, die im genannten Intervalle nicht abenehmen. Ist ferner $F(x)$ im Intervalle $(-\pi, +\pi)$ endlich und integrabel, so kann man nun nach Dirichlet's Vorgang schliessen, dass die Fourier'sche Reihe für jeden Wert von $x$, in dessen Umgebung die Schwankungen endlich sind, die Summe ${1\over 2}[F(x-0)+F(x+0)]$ hat.
(Data of JFM: JFM 13.0184.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Stolz, Prof. (Innsbruck)]

MSC 2000:: *26A45 Functions of bounded variation (one real variable)

Keywords: Functions of bounded variation; Fourier series

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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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