Simple Search

Query:

Enter a query and click »Search«...

Format:

Display: entries per page entries

Zbl 1149.11017
Guilloux, Antonin
Existence and equidistribution of denominator $n$-matrices in unitary and orthogonal groups. (Existence et équidistribution des matrices de dénominateur $n$ dans les groupes unitaires et orthogonaux.) (French. English summary)
[J] Ann. Inst. Fourier 58, No. 4, 1185-1212 (2008). ISSN 0373-0956; ISSN 1777-5310/e

Pour tout entier $k\geq 2$ et tout anneau $A$, on note $M(k,A)$ l'ensemble de matrices carrées de taille $k\times k$ à coefficients dans $A$. Le dénominateur $d$ d'une matrice $A\in M(k,{\Bbb Q}(i)$ est défini comme le plus petit entier $d\in{\Bbb N}^*$ tel que $dA$ soit une matrice de $M(k,{\Bbb Z}[i])$. Soient $H\in M(k,{\Bbb Z}[i])$ une matrice hermitienne définie positive, $h$ la forme hermitienne associée. Pour tout entier $n$, on note ${\cal T}(n,H,A)$ l'ensemble des matrices $M\in M(k,{\Bbb Z}[i]\bigotimes_{\Bbb Z}A)$ de déterminant $n^k$ telles que: -- les coefficients de $M$ sont premiers entre eux, -- la matrice $M$ est solution de l'équation $(E_n):M^*HM=n^2H.$ On note ${\cal U}(H,A)$ l'ensemble des $n\in {\Bbb N}$ tels qu'il existe $M\in {\cal T}(n,H,A)$, et ${\cal U}_l(H)=$\break $\bigcap_{p\,\text{premier}}{\cal U}(H,{\Bbb Z}_p)$. Pour qu'il existe des matrices de dénominateur $n$ dans $\text{SU}(h,{\Bbb Q})$, il faut que $n$ soit dans ${\cal U}(H,{\Bbb Z})$, et donc il faut que $n$ soit dans ${\cal U}_l(H)$. Théorème. Soient $k\geq 2$, $H\in M(k,{\Bbb Z}[i])$ une matrice hermitienne définie positive. Alors il existe $N_0\in {\Bbb N}$ tel que pour tout $n\geq N_0$, les deux assertions suivantes sont équivalentes: (1) L'entier $n$ appartient à ${\cal U}_l(H)$. (2) L'entier $n$ appartient à ${\cal U}(H,{\Bbb Z})$. Théorème. Soient $k\geq 2$, $H\in M(k,{\Bbb Z}[i])$ une matrice hermitienne définie positive et $h$ la forme hermitienne associée. Notons $\mu$ la probabilité de Haar sur $\text{SU}(h,{\Bbb R})$. Pour tout entier $n$, soit $\Gamma_n$ l'ensemble des $\frac1n M$ pour $M\in {\cal T}(n,H,{\Bbb Z})$. Alors quand $n$ tend vers l'infini dans ${\cal U}_l(H)$, les $\Gamma_n$ s'équirépartissent dans $\text{SU}(h,{\Bbb R})$, c'est-à-dire qu'on la convergence: $$\frac{1}{\text{Card}(\Gamma_n)}\sum_{\gamma\in\Gamma_n}\delta_\gamma\to\mu,$$ as $n\to\infty$, $n\in{\cal U}_l(H)$, dans l'espace des probabilités sur $\text{SU}(h,{\Bbb R})$ muni de la topologie faible. On étude ensuite le cas des groupes orthogonaux.
[Florin Nicolae (Berlin)]

MSC 2000:: *11E12 Quadratic forms over global rings and fields
20G35 Linear algebraic groups over adèles and other rings and schemes
37A45 Relations of ergodic theory with number theory and harmonic analysis
37K60 Lattice dynamics

Keywords: quadratic form; hermitian form; unitary group; orthogonal group

Comment on this Item PDF MathML XML ASCII DVI PS BibTeX Online Ordering Article Article Article Journal Journal

	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

Simple Search

Zentralblatt MATH Berlin [Germany]