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Zbl 1115.11036
Roy, Damien
On two exponents of approximation related to a real number and its square. (English)
[J] Can. J. Math. 59, No. 1, 211-224 (2007). ISSN 0008-414X; ISSN 1496-4279/e

Für jedes $\xi\in\mathbb{R}$ sei $\widehat{\lambda}_2(\xi)$ (bzw. $\widehat{\omega}_2(\xi)$) das Supremum aller reellen $\lambda$ (bzw. $\omega$), so da\ss\ das Ungleichungssystem $|x_0|\le X, |x_0\xi-x_1|\le X^{-\lambda}, |x_0\xi^2-x_2|\le X^{-\lambda}$ (bzw. $|x_0+x_1\xi+x_2\xi^2|\le X^{-\omega}, |x_1|\le X, |x_2|\le X$) für jedes genügend gro\ss e $X\in\mathbb{R}_+$ eine Lösung $(x_0,x_1,x_2)\in\mathbb{Z}^3\setminus\{\underline{0}\}$ besitzt. In Beantwortung einer von {\it Y. Bugeaud} und {\it M. Laurent} [Ann. Inst. Fourier 55, 773--804 (2005; Zbl 1155.11333)] gestellten Frage zeigt Verf., da\ss\ die Exponenten $\widehat{\lambda}_2(\xi)$ im Intervall $[1/2,(\sqrt{5}-1)/2]$ dicht liegen, wenn $\xi$ alle reellen Zahlen durchläuft, die nicht algebraisch von einem Grad $\le 2$ über $\mathbb{Q}$ sind. Da für die genannten $\xi$ die Beziehung $\widehat{\lambda}_2(\xi)=1-(1/\widehat{\omega}_2(\xi))$ gilt, liegen die zu $\widehat{\lambda}_2(\xi)$ dualen Exponenten $\widehat{\omega}_2(\xi))$ im Intervall $[2,(3+\sqrt{5})/2]$ dicht. Die Beweisführung baut auf zwei früheren Arbeiten des Verf. [Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser. 88, 42--62 (2004; Zbl 1035.11028) bzw. in: Number Theory, CRM Proceedings and Lecture Notes 36, 269--285 (2004; Zbl 1077.11051)] auf.
[Peter Bundschuh (Köln)]

MSC 2000:: *11J13 Simultaneous homogeneous approximation, linear forms
11J82 Measures of irrationality and of transcendence

Citations: Zbl 1035.11028; Zbl 1077.11051; Zbl 1155.11333

Cited in: Zbl 1124.11032

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	Scientific prize winners of the ICM 2010
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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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