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Liouville sequences. (English) Zbl 1056.11043

Eine Folge \((a_n)\in\mathbb{R}_+^{\mathbb{N}}\) wird vom Verf. Liouville-Folge genannt, wenn die Reihe \(\sum_{n\geq 1} 1/a_nc_n\) für jede Folge \((c_n)\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}\) eine Liouville-Zahl ist. Sodann beweist Verf. zwei hinreichende Kriterien dafür, daß\((a_n)\in \mathbb{Q}_+^ {\mathbb{N}}\) eine Liouville-Folge ist. Das einfacher zu formulierende lautet folgendermaßen: Es seien \((a_n),(b_n)\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}, (a_n)\) monoton wachsend und so, daß \[ \limsup (\log_2\log_2 a_n)/n = \infty \tag{*} \] gilt. Weiter seien für alle genügend großen \(n\in \mathbb{N}\) die Ungleichungen \[ \log_2(a_n/n) > b(\log_2 n)^a\quad\text{und}\quad \log_2 b_n < c(\log_2 a_n)^a \tag{**} \] erfüllt, wobei \(a,b,c\in \mathbb{R}_+\) mit \(a<1, c<b\) fest sind und \(\log_2\) den Logarithmus zur Basis 2 bedeutet. Dann ist \((a_n/b_n)\) eine Liouville-Folge.
Schließlich werden einige Anwendungsbeispiele für beide Kriterien gegeben; aus dem oben zitierten wird ein Ergebnis von P. Erdős [J. Math. Sci. 10, 1–7 (1975; Zbl 0372.10023)] über Liouville-Zahlen der Form \(\sum 1/a_n\) abgeleitet, wobei allerdings bei Erdős die (**) entsprechende Bedingung schärfer ist, dafür die (*) entsprechende schwächer.

MSC:

11J82 Measures of irrationality and of transcendence

Citations:

Zbl 0372.10023
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References:

[1] DOI: 10.1016/0019-3577(92)90010-I · Zbl 0759.11024 · doi:10.1016/0019-3577(92)90010-I
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