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Zbl 0990.35119
Delort, Jean-Marc
Global existence and asymptotics for the quasilinear Klein-Gordon equation with small data in one space dimension. (Existence globale et comportement asymptotique pour l'équation de Klein-Gordon quasi linéaire à données petites en dimension 1.) (French)
[J] Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 34, No. 1, 1-61 (2001). ISSN 0012-9593

Soit $v$ une solution de l'équation de Klein-Gordon quasilinéaire en dimension 1 d'espace $$\square v+v= F(v,\partial_t v,\partial v,\partial_t \partial_x v,\partial^2_xv)$$ à données de Cauchy régulières à support compact, de taille $\varepsilon\to 0$, où $F$ est une non-linéarité ${\cal C}^\infty$, à valeurs réelles, nulle su moins à l'ordre 2 à l'origine, affine en ses deux derniers arguments. On sait que $v$ existe sur un intervalle de temps de longueur $\ge e^{c/ \varepsilon^2} (c> 0)$ et qu'en général elle explose en temps fini de l'ordre de $e^{c'/ \varepsilon^2}(c'>0)$. L'A. avait conjecturé [Ann. Inst. Henri Poincaré, Anal. Non Linéaire 16, No. 5, 563-591 (1999; Zbl 0937.35160)] une condition portant sur les termes quadratiques et cubiques de $F$, nécessaire et suffisante pour l'existence globale en temps pour $\varepsilon$ assez petit.\par Le premier des deux théorèmes principaux du présent article établit la suffisance de cette condition.\par La deuxième but de l'article est d'obtenir l'allure du comportement asymptotique lorsque $t\to\infty$ des solutions sous les hypothèses ci-dessus. En particulier, les solutions n'ont pas en général un comportement de solution linéaire à l'infini.\par L'ingrédient de base dans la preuve des résultats est l'utilization des ``formes normales paradifférentielles''.
[Viorel Iftimie (Bucureşti)]

MSC 2000:: *35Q40 PDE from quantum mechanics
35S50 Paradifferential operators
35Q53 KdV-like equations

Keywords: quasilinear Klein-Gordon equation; Cauchy problem; sufficient global existence condition; asymptotic behavior; paradifferential normal forms

Citations: Zbl 0937.35160

Cited in: Zbl 1109.35095 Zbl 1085.35110

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	Scientific prize winners of the ICM 2010
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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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