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Zbl 0905.05055
Colin de Verdière, Yves
The spectral gap of graphs and their expansion properties. (Le trou spectral des graphes et leurs propriétés d'expansion.) (French)
[A] Séminaire de théorie spectrale et géométrie. Année 1993-1994. Chambéry: Univ. de Savoie, Fac. des Sciences, Service de Math. Sémin. Théor. Spectrale Géom., Chambéry-Grenoble. 12, 51-68 (1994).

Dans la suite $\Gamma= (V, E)$ est un graphe fini ou non, mais de degré uniformément borné par une constante $k$. Le laplacien canonique $\Delta_\Gamma$ est l'opérateur autoadjoint borné sur ${\cal H}= l^2(V)$ associé à la forme quadratique $$q(f)= \sum_{\{i, j\}\in E} (f(i)- f(j))^2.$$ On a donc: $$\Delta_\Gamma(f)(i)= \sum_{j\sim i}(f(i)- f(j)),$$ de façon à avoir: $$q(f)= \langle\Delta_\Gamma f| f\rangle.$$ On définit aussi la matrice d'adjacence $M_\Gamma$ par la relation $$M_\Gamma= k\text{Id}- \Delta_\Gamma,$$ où $k$ est le sup des degrés de sommets.\par Si $\Gamma$ est fini et connexe, le spectre de $\Delta_\Gamma$ est de la forme: $$\lambda_1= 0<\lambda_2\le\cdots\le \lambda_{\# V}.$$ Le trou spectral ou gap de $\Gamma$, noté $g(\Gamma)$ est alors défini par $g(\Gamma)= \lambda_2- \lambda_1= \lambda_2$.\par Le but de cet exposé est de donner des relations entre le gap et des propriétés plus géométriques de $\Gamma$ (diamètre, expansion, constante de Cheeger, etc.).\par On s'intéressera aussi à la construction de familles infinies de graphes ayant de bonnes propriétés d'expansion. En particulier, on donnera une construction proche de celle de Gabber-Galil et on montrera comment elle permet de retrouver la propriétés (T) pour $\text{SL}_3(\bbfZ)$, grâce à l'inégalité de Kato pour les graphes.

MSC 2000:: *05C50 Graphs and matrices
43A99 Miscellaneous topics in harmonic analysis

Keywords: spectral gap; expansion properties; Cheeger constants; Laplacian

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	Scientific prize winners of the ICM 2010
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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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