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Zbl 0901.47036
Chang, Shihsen
Some problems and results in the study of nonlinear analysis. (English)
[J] Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. 30, No.7, 4197-4208 (1997). ISSN 0362-546X

Die vorliegende Arbeit behandelt Konvergenzaussagen für Iterationsverfahren zur Berechnung von Fixpunkten von 1. akkretiven, 2. stark akkretiven, 3. (stark) pseudokontraktiven Abbildungen in Banachräumen mit zusätzlichen Konvexitäts- bzw. Glattheitseigenschaften. Im Detail werden die Ishikawa-Iteration [{\it S. Ishikawa}, Proc. Am. Math. Soc. 44, 147-150 (1974; Zbl 0286.47036)], d.h., die Vorschrift $$x_{n+ 1}= (1-\alpha_n)x_n+ \alpha_nT(y_n),\quad y_n= (1-\beta_n)x_n+ \beta_nT(x_n)$$ für eine Selbstabbildung $T$ einer konvexen Teilmenge eines Banachraumes bzw. die Mann-Iteration [{\it R. W. Mann}, ibid. 4, 506-510 (1953; Zbl 0050.11603)] (in obiger Vorschrift ist $\beta_n= 0$ zu setzen $n= 0,1,2,\dots$) untersucht. Der Verfasser beweist sechs einschlägige Theoreme wie z.B. das folgende Theorem 3.2. ``$X$ sei ein reeller glatt konvexer Banachraum, $K\subset X$ eine beschränkte abgeschlossene konvexe Teilmenge und $T: K\to K$ eine stark pseudo-kontraktive Abbildung. Es seien $(\alpha_n)$, $(\beta_n)$ zwei reelle Zahlenfolgen mit $$(i)\quad 0\le \alpha_n\le\beta_n\le 1\quad (n= 0,1,2,\dots),\qquad (ii)\quad \sum^\infty_{n= 0}\alpha_n=+\infty\quad\text{und} \quad \lim_{n\to\infty} \beta_n= 0.$$ Hat die Abbildung $T$ einen Fixpunkt, dann hat $T$ genau einen Fixpunkt $\overline x\in K$ und für jedes (Start-)Element $x_0\in K$ konvergiert die gemäss der Ishikawa-Iteration (s. oben) gebildete Folge $(x_n)$ stark gegen $\overline x$.'' Dieses Theorem verallgemeinert einen Satz von {\it C. E. Chidume} [ibid. 120, No. 2, 545-551 (1994; Zbl 0802.47058)] und gibt eine positive Antwort auf eine von ihm gestellte Frage. Ein wichtiges Beweishilfsmittel ist eine vom Autor bewiesene Ungleichung für die $p$-Dualitätsabbildung $(1< p<\infty)$: $$J_p(x)= \{f\in x^*\mid (x,f)= \|f\|\cdot\|x\|, \|f\|= \|x\|^{p-1}\}.$$
[T.Riedrich (Dresden)]

MSC 2000:: *47H06 Accretive operators, etc. (nonlinear)
47J25 Methods for solving nonlinear operator equations (general)
47H10 Fixed point theorems for nonlinear operators on topol.linear spaces

Keywords: fixed points of strong pseudo-contraction mappings; Ishikawa-iteration; Mann-iteration

Citations: Zbl 0286.47036; Zbl 0050.11603; Zbl 0802.47058

Cited in: Zbl 1212.47091

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	Scientific prize winners of the ICM 2010
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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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