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Zbl 0895.11030
Roy, Damien; Waldschmidt, Michel
Diophantine approximation and algebraic independence of logarithms. (Approximation diophantienne et indépendance algébrique de logarithmes.) (French)
[J] Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 30, No. 6, 753-796 (1997). ISSN 0012-9593

In der vorliegenden Arbeit stellen Verff. einen neuartigen Zugang zur algebraischen Unabhängigkeit bei kleinen Transzendenzgraden vor. Statt des üblichen Gel'fondschen Kriteriums verwenden sie ein neues Resultat über diophantische Approximationen, das frühere Ergebnisse von {\it E. Wirsing} [J. Reine Angew. Math. 206, 67-77 (1961; Zbl 0097.03503)] und {\it A. Durand} [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. A 287, 595-597 (1978; Zbl 0389.10028)] ergänzt. Dieses Resultat garantiert die Existenz guter algebraischer Approximationen an Familien von Zahlen aus einem Teilkörper von $\Bbb C$ vom Transzendenzgrad 1 über $\Bbb Q$. Mittels dieses Resultats geben Verff. in Fortführung ihrer Note [{\it D. Roy} und {\it M. Waldschmidt}, Proc. Jap. Acad., Ser. A 71, 151-153 (1995; Zbl 0860.11040)] in der vorliegenden Arbeit Beweise für algebraische Unabhängigkeit, die sich letztlich auf die von {\it M. Laurent} [Astérisque 198/200, 209-230 (1991; Zbl 0762.11027)] eingeführte Technik der Interpolationsdeterminanten stützt. \par Das Hauptresultat, das Verff. mit ihrer Methode beweisen, ist völlig neuartig und kann hier aufgrund des zu seiner Formulierung nötigen umfangreichen Begriffsapparates nicht reproduziert werden. Eine Folgerung aus diesem Hauptresultat sei zitiert: Sind $\log\alpha_1,\ldots,\log\alpha_n$ über $\Bbb Q$ linear unabhängige Logarithmen nichtverschwindender algebraischer Zahlen, die einen Körper vom Transzendenzgrad 1 über $\Bbb Q$ erzeugen, so gilt $q(\log\alpha_1,\ldots,\log\alpha_n)\not= 0$ für jede quadratische Form $q\in{\Bbb Q}[X_1,\ldots,X_n] \setminus \{0\}$. \par Verff. haben die vorliegende Studie inzwischen im Ramanujan J. 1, 379-430 (1997; Zbl 0916.11042) fortgesetzt.
[P.Bundschuh (Köln)]

MSC 2000:: *11J85 Algebraic independence results

Keywords: diophantine approximation; algebraic independence of logarithms; small transcendence degree; algebraic approximations; real quadratic forms

Citations: Zbl 0097.03503; Zbl 0389.10028; Zbl 0860.11040; Zbl 0762.11027; Zbl 0916.11042

Cited in: Zbl 0962.11028 Zbl 0971.11041 Zbl 0930.11056 Zbl 0933.11039 Zbl 0916.11042

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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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