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Zbl 0878.11024
Philippon, Patrice
Sur des hauteurs alternatives. II (On alternative heights. II). (French)
[J] Ann. Inst. Fourier 44, No.4, 1043-1065 (1994). ISSN 0373-0956; ISSN 1777-5310/e

In der vorliegenden Arbeit setzt Verf. seine frühere Untersuchung [Math. Ann. 289, 255-283 (1991; Zbl 0726.14017)] über Höhen projektiver Varietäten mittels ihrer Chow-Formen fort. Zunächst wird die geometrische Interpretation lokaler Höhen, wie sie in \S 2 (loc. cit.) für komplexe Varietäten eingeführt wurde, wesentlich ergänzt und auf über ${\Bbb C}_p$ definierte Varietäten ausgedehnt. Diese formale Vorgehensweise erlaubt später eine einheitliche Darstellung archimedischer und nichtarchimedischer Situationen.\par Sei $K$ ein algebraischer Zahlkörper und $A_K$ die Menge der Äquivalenzklassen von Absolutbeträgen auf $K$. Für $v\in A_K$ bezeichne $K_v$ die Vervollständigung von $K$ bezüglich $v$ und ${\Bbb C}_v$ sei die Vervollständigung eines algebraischen Abschlusses von $K_v$. Sodann werden für die Einschränkung einer Form auf eine projektive Untervarietät $V$ von ${\Bbb P}_n({\Bbb C}_v)$ verschiedene ``Taillen'' definiert und deren elementare Eigenschaften untersucht.\par Des weiteren werden ``Haus'' und ``Taille'' auf Erweiterungen endlichen Typs von $\Bbb Q$ so eingeführt, dass dadurch gleichzeitig die entsprechenden klassischen Begriffe für algebraische Zahlen und für Polynome verallgemeinert werden. Dies ist nützlich bei Fragen der Approximation durch Zahlen, die über einem festen Körper mit positivem Transzendenztyp algebraisch sind. Zum Schluss wird gezeigt, wie man die 2-Norm $|\cdot|_{2,V}$ für die archimedischen Stellen und abelsche Varietäten $V$ durch Hermite-Produkte mit Thetafunktionen ausdrücken kann.
[P.Bundschuh (Köln)]

MSC 2000:: *11G35 Varieties over global fields
11J17 Approximation by numbers from a fixed field
14G40 Arithmetic varieties and schemes

Keywords: height; size; house; projective length; arithmetic geometry; projective variety; approximation measure; $p$-adic integration; local heights; Chow forms

Citations: Zbl 0726.14017; Zbl 0615.10044; Zbl 0617.14001

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	Scientific prize winners of the ICM 2010
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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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