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Zbl 0859.11003
Nathanson, Melvyn B.
Additive number theory. Inverse problems and the geometry of sumsets. (English)
[B] Graduate Texts in Mathematics. 165. New York, NY: Springer. xiv, 293 p. DM 78.00; öS 569.40; sFr 69.00 (1996). ISBN 0-387-94655-1

Dieser Band ist unabhängig von dem ersten Band [vgl. das vorhergehende Referat] (Klassische Fragen der additiven Zahlentheorie). Während in diesem direkte Probleme behandelt werden, ist der zweite Band der Untersuchung inverser Probleme gewidmet. Gegeben ist nun eine Summenmenge $hA$, und es wird nach Aussagen über die Menge $A$ gefragt. Von besonderem Interesse ist dabei der Fall, dass $A$ eine endliche Menge ist. Freiman, Kneser, Nathanson, Plünnecke und Ruzsa erzielten wichtige Resultate bei inversen Problemen. Die Höhepunkte des Buches sind u.a. die Sätze von Cauchy-Davenport, Erdös-Ginzburg-Ziv, Erdös-Heilbronn, Freiman-Vosper, Kneser, Plünnecke und Ruzsa. Der Text ist so geschrieben, dass nur Kenntnisse in elementarer Zahlentheorie, Algebra und Analysis nötig sind. \par In Verallgemeinerung der Addition von Mengen ganzer Zahlen wird die Summe von endlichen Teilmengen $A$ und $B$ einer abelschen Gruppe $G$ eingeführt als die Menge aller Elemente von $G$, die in der Form $a+b$ mit $a\in A$ und $b\in B$ dargestellt werden können. Das einfachste inverse Problem besteht darin, die Paare $(A,B)$ von endlichen Teilmengen $A,B\subset G$ zu charakterisieren, so dass $A+B\ne G$ und $|A+B|< |A|+ |B |$ gilt. Für den Fall $G= \bbfZ/p \bbfZ$ $(p$ Primzahl) wurde dieses Problem von Vosper vollständig gelöst; der Beweis ist der Inhalt von Kapitel 2.5.\par Weitere zentrale Themen des Buches sind der Knesersche Satz über Summen von endlichen Teilmengen einer abelschen Gruppe $G$, Summen von Vektoren im euklidischen Raum $\bbfR^n$, die Sätze von Minkowski, Plünnecke-Graphen und Plünneckes Ungleichung mit einer Anwendung auf inverse Probleme und das Theorem von Freiman.\par Am Schluss eines jeden Abschnitts findet der Leser historische Bemerkungen, Literaturhinweise und Hinweise auf offene Fragen sowie Übungsaufgaben. Ein ausführliches zusammengefasstes Literaturverzeichnis wird am Schluss des Buches angegeben.
[E.Härtter (Mainz)]

MSC 2000:: *11-02 Research monographs (number theory)
11Bxx Sequences and sets of numbers
11B13 Additive bases
11B83 Special sequences of integers and polynomials

Keywords: inverse problems; geometry of sumsets; finite sets; Cauchy-Davenport theorem; addition of sets; Freiman's theorem; bibliography; Kneser's theorem; vector sums in Euclidean space; Minkowski's theorem; Plünnecke graphs; Plünnecke's inequality

Citations: Zbl 0859.11002

Cited in: Zbl 1183.11007 Zbl 0911.11008 Zbl 0859.11002

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