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Zbl 0859.11002
Nathanson, Melvyn B.
Additive number theory. The classical bases. (English)
[B] Graduate Texts in Mathematics. 164. New York, NY: Springer. xiv, 342 p. DM 78.00; öS 569.40; sFr 69.00 (1996). ISBN 0-387-94656-X

In den letzten Jahren wurden in der additiven Zahlentheorie viele interessante und schöne Ergebnisse erzielt; diese finden sich zum grossen Teil aber nur verstreut in der Literatur. Es ist daher ein grosser Verdienst des Verfassers, in diesem Buch solche Resultate zusammenzustellen und gut gegliederte Beweise zu liefern. In diesem Band werden klassische Fragen der additiven Zahlentheorie behandelt.\par Eine Menge $A\subseteq \bbfN_0$ heisst bekanntlich Basis der Ordnung $h$ für eine Menge $M\subseteq \bbfN_0$, wenn sich jedes Element aus $M$ als Summe von $h$ nicht notwendig verschiedenen Elementen aus $A$ darstellen lässt. Der klassische Satz von Lagrange sagt dann aus, dass die Menge der Quadratzahlen eine Basis vierter Ordnung für $\bbfN_0$ ist. Weitere bekannte klassische Fragen sind das Waringsche Problem und die Goldbachsche Vermutung. Diese beiden Fragen bilden den Hauptgegenstand dieses Buches. In einem Anhang (Teil III) finden sich einige Grundlagen, die in den Beweisen benutzt werden. Ein umfangreiches Literaturverzeichnis am Ende des Buches sowie Hinweise am Schluss der einzelnen Kapitel geben dem Leser die Möglichkeit, die zitierte Originalliteratur aufzufinden.\par Zunächst werden Summen von Polygonalzahlen behandelt, und als Spezialfall geht der Verfasser auf Summen von Quadratzahlen ein (Sätze von Lagrange, Gauss und Choi-Erdös-Nathanson).\par Das Waringsche Problem, dem der erste Hauptteil des Buches gewidmet ist, sagt, dass für alle $k\ge 2$ die Menge der $k$-ten Potenzen der nichtnegativen ganzen Zahlen eine Basis einer endlichen Ordnung $h$ für $\bbfN_0$ ist. Zunächst werden Summen von Kuben betrachtet und dann wird der Beweis für beliebiges $k$ ausgeführt. Die Hardy-Littlewoodsche Formel für die Darstellungsanzahl beim Waringschen Problem bildet den Abschluss dieses ersten Teils.\par Der zweite Hauptteil des Buches bringt zunächst einige Sätze über die Folge der Primzahlen. Unter Benutzung des Siebs von Selberg wird dann der Satz von Schnirelmann bewiesen, dass die Menge der Primzahlen eine Basis endlicher Ordnung für die Menge der geraden Zahlen $>2$ ist. Es schliesst sich der Beweis des Satzes von Vinogradov an, dass die Menge der Primzahlen eine asymptotische Basis dritter Ordnung für die Menge der ungeraden Zahlen ist.\par Den Abschluss bildet der Beweis des Satzes von Chen, dass jede genügend grosse gerade Zahl als Summe einer Primzahl und einer Zahl, die Produkt von höchstens zwei Primzahlen ist, geschrieben werden kann.\par Es ist dem Verfasser gelungen, ein äusserst klar und anregend geschriebenes Buch über Höhepunkte der additiven Zahlentheorie vorzulegen, das sowohl für Kenner der Materie sehr informativ, als auch für Studenten in höheren Semestern, die sich mit diesen Fragen befassen, zur Lektüre wärmstens zu empfehlen ist.
[E.Härtter (Mainz)]

MSC 2000:: *11-02 Research monographs (number theory)
11P05 Waring's problem and variants
11P32 Additive questions involving primes
11P55 Appl. of the Hardy-Littlewood method
11Pxx Additive number theory

Keywords: additive number theory; bases; Goldbach conjecture; sums of polygonal numbers; sums of squares; sums of cubes; Hardy-Littlewood formula for the number of representations in Waring's problem; sequence of primes; Schnirelmann's theorem; Chen's theorem; bibliography

Citations: Zbl 0859.11003

Cited in: Zbl 0859.11003

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