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Zbl 0810.03051
Cury, F.
Complétion et complétude selon H. Andreka et I. Nemeti. (French)
[J] Diagrammes 28, 80 p. (1992). ISSN 0224-3911

{\it H. Andréka} et {\it I. Németi} [``Generalization of the concept of variety and quasivariety to partial algebras through category theory'', Diss. Math. 204 (1983; Zbl 0518.08007)] obtiennent, dans un cadre intermédiaire entre le ``restreint'' et le ``large'', évoqués plus haut, tant un théorème de Birkhoff généralisé qu'un théorème de complétude, ``essentiellement algébriques'', et ce, en choisissant:\par -- pour modèles soit les algèbres, soit les algèbres partielles d'une signature, soit encore les modèles -- i.e. les interprétations -- d'un langage,\par-- pour formules, essentiellement des implications entre formules atomiques ``quantifiées universellement''.\par Ils obtiennent ce théorème de Birkhoff généralisé comme application d'une version catégorique de la situation usuelle: c'est que saturer $A$ par produits, sous-algèbres, images homomorphes, est un cas particulier de saturation, dans une ``bonne catégorie'' (notamment munie d'une système de factorisation $\langle H, S\rangle$ et d'une classe particulière d'épimorphismes $H$), d'une classe d'objets par \dots produits (``catégoriques''), sources des flèches de $S$, buts des flèches de $H$.\par Cependant, leur version ne va pas jusqu'à donner un statut ``categorique'' aux formules même infinitaires, et encore moins aux formules finitaires.\par Nous montrons en détail que ceci est possible en poussant (un peu) plus loin les idées de Andréka-Néméti. Et nous détaillons avec soin leur procédé de traduction de ce cadre en le cadre usuel. Le théorème de complétude essentiellement algébrique qu'ils obtiennent n'est pas, lui, catégorique: il n'est établi que dans le cadre ``intermédiaire'' évoqué précédemment. Tout en re-situant le problème, nous n'avons pas cru devoir ré-écrire en détail ce qui n'avait pas besoin de l'être parce que se trouvant déjà dans Andréka-Németi. Par contre nous suggérons un cadre catégorique que pourrait convenir.

MSC 2000:: *03G30 Categorical logic
08C05 Categories of algebras

Keywords: essentially algebraic completeness theorem; generalized Birkhoff theorem; category of total algebras; category of models; category of partial algebras

Citations: Zbl 0518.08007

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	Scientific prize winners of the ICM 2010
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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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