Simple Search

Query:

Enter a query and click »Search«...

Format:

Display: entries per page entries

Zbl 0782.11011
Langmann, Klaus
Uniqueness of the solutions of the equation $x\sp d+y\sp d=ap$. (Eindeutigkeit der Lösungen der Gleichung $x\sp d + y\sp d = ap$.) (German)
[J] Compos. Math. 88, No.1, 25-38 (1993). ISSN 0010-437X; ISSN 1570-5846/e

Als zentrales Ergebnis beweist Verf. hier (etwas mehr als) folgenden Satz: Sei $P\in\bbfZ[X,Y]$ irreduzibel und homogen vom Grad $d\geq 4$ und sei $c\in\bbfN$ fest vorgegeben. Dann hat die Gleichung $P(x,y)=h$ für fast jedes $h\in\bbfZ$ höchstens $d\sp{t-1}$ paarweise inäquivalente, teilerfremde Lösungen $(x,y)\in \bbfZ\sp 2$ wobei $t$ die Anzahl der $h$ teilenden Primzahlen $\geq c$ bedeutet. Dabei heissen $(x,y)$, $(u,v)\in\bbfQ\sp 2$ äquivalent, wenn es $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in \bbfQ$ mit $\alpha\delta\ne \beta\gamma$ gibt derart, dass $u=\alpha x+\beta y$, $v=\gamma x+\delta y$ gilt.\par Wohl das interessanteste Korollar dieses Satzes ist folgendes: Seien $a,b,c,d\in\bbfZ$, $abc\ne 0$, $d\geq 4$. Wenn die Gleichung $ax\sp d+by\sp d= cp$ bei genügend grosser Primzahlpotenz $p$ mindestens eine teilerfremde Lösung $(x,y)\in\bbfZ\sp 2$ besitzt, so hat sie genau (i) eine Lösung, falls $2\nmid d$ und $a/b$ keine $d$-te Potenz ist, (ii) vier Lösungen, falls $s\mid d$, aber $a/b$ keine $d$-te Potenz ist, (iii) acht Lösungen, falls $2\mid d$ und $a=b$ gilt.\par Der Beweis des zitierten Satzes hängt entscheidend von einem geeigneten ``3-Werte-Satz'' ab, bei dessen Beweis sich Verf. auf den $S$- Einheitensatz von Evertse, Laurent bzw. van der Poorten-Schlickewei stützt [vgl. etwa {\it J. H. Evertse}, Compos. Math. 53, 225-244 (1984; Zbl 0547.10008)].
[P.Bundschuh (Köln)]

MSC 2000:: *11D41 Higher degree diophantine equations

Keywords: number of solutions; Thue equation; pairwise nonequivalent solutions; three value theorem

Citations: Zbl 0547.10008

Cited in: Zbl 0820.11020

Comment on this Item PDF MathML XML ASCII DVI PS BibTeX Online Ordering Article Article Journal

	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

Simple Search

Zentralblatt MATH Berlin [Germany]