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Zbl 0753.03026
Cignoli, Roberto
Complete and atomic algebras of the infinite valued Łukasiewicz logic. (English)
[J] Stud. Log. 50, No.3-4, 375-384 (1991). ISSN 0039-3215; ISSN 1572-8730/e

Eine $W$-Algebra ist eine Algebra ${\germ A}=\langle A,\Rightarrow,\neg,u\rangle$, für die $u\in A$, $\neg$ eine unäre und $\Rightarrow$ eine binäre Operation auf $A$ sind, wobei $u\Rightarrow x=x$, $(x\Rightarrow y)\Rightarrow((y\Rightarrow z)\Rightarrow(x\Rightarrow z))=u$, $(x\Rightarrow y)\Rightarrow y=(y\Rightarrow x)\Rightarrow x$, $(\neg x\Rightarrow \neg y)\Rightarrow(y\Rightarrow x)=u$ gelten. Die Operationen $\lor$ und $\land$ werden folgendermassen definiert: $x\lor y=(x\Rightarrow y)\Rightarrow y$, $x\land y=\neg(\neg x\lor \neg y)$, und $\neg u$ wird mit 0 bezeichnet.\par Wenn $x\le y$ durch $x\Rightarrow y=u$ definiert wird, dann ist $L{\germ A}=\langle A,\lor,\land,0,u\rangle$ teilweise geordnet, wobei 0 und $u$ das kleinste bzw. das grösste Element sind, $\lor$ und $\land$ aber sup bzw. inf bedeuten. In $L{\germ A}$ ist $\land$ distributiv hinsichtlich $\lor$. Wenn $L{\germ A}$ vollständig ist (sup und inf existieren auch für unendliche Teilmengen), dann wird $\germ A$ vollständig genannt. $\germ A$ wird eine atomare $W$-Algebra genannt, wenn $L{\germ A}$ atomar ist.\par Es wird bewiesen, dass für jede $W$-Algebra $\germ A$ in $L{\germ A}$ auch die unendliche Distributivregel gilt. Daraus folgt, dass bei einer vollständigen $W$-Algebra $\germ A$, $L{\germ A}$ eine (vollständige) Heyting-Algebra ist. Ein weiteres Resultat ist die folgende Distributivregel für $\Rightarrow$ in $W$-Algebren: Wenn $\sup\sb \iota\{x\sb \iota\}$ existiert, dann existiert auch $\sup\sb \iota\{x\Rightarrow x\sb \iota\}$, wobei $x\Rightarrow\sup\sb \iota\{x\sb \iota\}=\sup\sb \iota\{x\Rightarrow x\sb \iota\}$. Zum Schluss werden notwendige und hinreichende Bedingungen gegeben, wann eine $W$-Algebra vollständig bzw. atomar ist.
[A.Tauts (Tallinn)]

MSC 2000:: *03G10 Lattices and related structures (algebraic logic)
03B50 Many-valued logic
03G20 Post and Lukasiewicz algebras (algebraic logic)

Keywords: Łukasiewicz logic; complete algebra; atomic algebra; Wajsberg algebra; Wajsberg chain; distributive laws

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	Scientific prize winners of the ICM 2010
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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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