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Generalized Fourier transform of slow-growth distributions. (English. Russian original) Zbl 0737.46032

Sib. Math. J. 31, No. 2, 264-272 (1990); translation from Sib. Mat. Zh. 31, No. 2(180), 94-103 (1990).
Si \(f\in L_{loc}^ 1(\mathbb{R}^ n)\) est une fonction lentement croissante à l’infini, on appelle transformée de Fourier généralisée de \(f\), la fonction \(\tilde F[f]: \mathbb{R}_ +^{n+1}\to \mathbb{C}\), \(\tilde F[f](x,y):=F[f e^{-|\cdot| y}](x)\), où \(F\) est la transformation de Fourier classique, \(x\in \mathbb{R}^ n\), \(y>0\). \(\tilde F[f]\) est une fonction harmonique et \(\lim_{y\to 0}\tilde F[f](\cdot,y)=F[f]\) dans \({\mathcal S}'(\mathbb{R}^ n)\). En utilisant le fait que toute distribution tempérée est une dérivée d’un fonction continue lentement croissante à l’infini, ou peut étentre cette définition au cas où \(f\in{\mathcal S}'(\mathbb{R}^ n)\). On donne aussi un formule d’inversion de \(\tilde F\) et certaines applications: calcul des transformées de Fourier de certaines distributions tempérées et un analogue du théorème de Vladimirov concernant le formule de Cauchy- Bochner pour des cónes [voir V. S. Vladimirov, Fonctions généralisée dans la physique mathématique (1976), en russe].

MSC:

46F12 Integral transforms in distribution spaces
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References:

[1] V. S. Vladmirov, Generalized Functions in Mathematical Physics [in Russian], Nauka, Moscow (1976).
[2] M. Bremermann, Distributions, Complex Variables, and Fourier Transforms, Addison-Wiley, Reading (1965). · Zbl 0151.18102
[3] A. M. Kytmanov, ?The representation and multiplication of multivariate distributions with the help of harmonic functions,? Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat., No. 1, 36-42 (1978). · Zbl 0388.46031
[4] A. M. Kytmanov, ?One class of multidimensional distributions,? Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat., No. 10, 23-28 (1980). · Zbl 0479.46029
[5] A. I. Zaslavskii, Distributions, Closed Differential Forms and the Fourier Transform [in Russian], Dep. at VINITI 28.03.83, No. 3469-83, Ural State University (1983).
[6] J. Bros and D. Jagolnitzer, ?Causality and local analyticity: mathematical study,? Ann. Inst. H. Poincaré,18, No. 2, 147-184 (1973). · Zbl 0286.42016
[7] E. M. Stein and G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, Princeton (1971). · Zbl 0232.42007
[8] Yu. A. Brychkov and A. P. Prudnikov, Integral Transforms of Generalized Functions [in Russian], Nauka, Moscow (1977). · Zbl 0464.46039
[9] A. P. Prudnikov, Yu. A. Brychkov, and O. I. Marichev, Integrals and Series. Special Functions [in Russian], Nauka, Moscow (1983). · Zbl 0626.00033
[10] A. P. Prudnikov, Yu. A. Brychkov, and O. I. Marichev, Integrals and Series. Elementary Functions, Nauka, Moscow (1981). · Zbl 0511.00044
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