×

On the sets of pairs of values not assumed by univalent functions. (Russian) Zbl 0737.30006

Für die Gesamtheit der schlichten konformen Abbildungen \[ f(z)=z+a_ 0+{a_ 1 \over z}+{a_ 2 \over z^ 2}+\dots \hbox{ von } | z|>1, \] die 0 und einen weiteren fixierten Punkt nicht annehmen, wird die Vereinigungsmenge der Bilder von \(| z|=1\) (d.h. der Wertebereich für die Bildränder) bestimmt. Diese Aufgabe war im wesentlichen implizit von H. Grötsch, Ber. Verh. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl. 82, 251-563 (1930) “geometrisch- funktionentheoretisch” gelöst worden. Dort war nämlich umgekehrt nach denjenigen Kontinuen minimaler Kapazität gefragt, die \(n\) vorgegebene Punkte enthalten. Die zugehörige Riemannsche Abbildungsfunktion war von P. Koebe anhangsweise formelmäßig- analytisch charakterisiert. (Das ist übrigens — worauf H. Grötzsch weiland mehrfach gesprächsweise hinwies, da dies kaum bekannt zu sein scheint — die erste Literaturstelle, in der quadratische Differentiale auftraten, wenn auch der Ausdruck “quadratisches Differential” nicht expressis verbis gebraucht wurde.) Diese Formeln sind nun für \(n=3\) (mit elliptischen Integralen) analytisch zu diskutieren, was der Autor tut. — Einige interessante Folgerungen.
Reviewer: R.Kühnau (Halle)

MSC:

30C25 Covering theorems in conformal mapping theory
30C55 General theory of univalent and multivalent functions of one complex variable
30C75 Extremal problems for conformal and quasiconformal mappings, other methods
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: EuDML