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Groupes de Galois sur K(T). (Galois groups over K(T)). (French) Zbl 0729.12010

Etant donnés un corps K de caractéristique 0 et un groupe G fini, écrivons \(Gal_ K(G)\) pour exprimer qu’il existe une extension galoisienne E/K de groupe de Galois \(Gal(E/K)=G\). L’A. fait le point des résultats actuels sur “le problème inverse de la théorie de Galois” qui consiste en la conjecture 1: on a \(Gal_{{\mathbb{Q}}}(G)\) pour tout groupe fini G. Son article prolonge le rapport rédigé par J.-P. Serre au Séminaire Bourbaki [Astérisque 161/162, Exp. No.689, 73-85 (1989; Zbl 0684.12009)]. Le passage aux corps de fonctions est justifié par l’implication \(Gal_{{\mathbb{Q}}(T)}(G)\Rightarrow Gal_{{\mathbb{Q}}}(G)\) qui résulte du théorème d’irréductibilité de Hilbert.
Ecrivons \(RGal_ k(G)\) pour exprimer qu’il existe une extension galoisienne E/K(T), régulière sur K (i.e. telle que K soit algébriquement fermé dans E), de groupe de Galois G. La conjecture 2: on a \(RGal_{{\mathbb{Q}}}(G)\) pour tout groupe fini G, implique la conjecture 1.
L’A. évoque les travaux de Shih du milieu des années 70, puis la méthode dite “de rigidité” qui a permis une avancée spectaculaire du problème dans le cas des groupes simples non abéliens; par exemple \(RGal_{{\mathbb{Q}}}(G)\) a été démontrée pour tous les groupes sporadiques sauf le groupe de Mathieu \(M_{24}\). Il examine les contraintes qu’impose la rigidité à la ramification des extensions cherchées. Il fournit un critère d’obtention de la propriété \(RGal_ K(G)\), puis applique ce critère avec \(K={\mathbb{Q}},{\mathbb{R}},{\mathbb{Q}}_ p\). Pour \(K={\mathbb{Q}}\), il retrouve le théorème de Belyj-Fried-Matzat-Shih-Thompson (cf. Serre, loc. cit.).
La dernière partie de l’article concerne les espaces de Hurwitz, et les travaux communs de l’A. avec M. Fried.

MSC:

12F12 Inverse Galois theory
11R32 Galois theory

Citations:

Zbl 0684.12009
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Full Text: DOI Numdam EuDML

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