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Zbl 0705.32006
Fichera, Gaetano
Unification of global and local existence theorems for holomorphic functions of several complex variables. (English)
[J] Atti Accad. Naz. Lincei, Mem., Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., VIII. Ser., Sez. I 18, 61-83 (1986). ISSN 0365-0286

Sur une partie $\Sigma$ de la frontière $\partial \Omega \in {\cal C}\sp 1$, d'un domaine borné $\Omega$ de ${\bbfC}\sp n$, on se donne une fonction continue W satisfaisant (au moins au sens faible) les conditions de Cauchy-Riemann tangentielles. Dans le cas $\Sigma =\partial \Omega$, la solution du problème de Dirichlet dans $\Omega$ pour la donnée W est holomorphe: l'Auteur le prouve à l'aide d'une formule de saut pour un potentiel de double couche portée par $\Sigma$, et retrouve ainsi la formule intégrale de Bochner-Martinelli. Lorsque $\Sigma$ est seulement une partie de $\partial \Omega$, une fonction $W\in {\cal C}\sp 1(\Sigma)$ satisfaisant les conditions de Cauchy- Riemann tangentielles peut ne pas avoir de prolongement continue qui soit holomorphe sur $\Omega\cap (un$ voisinage d'un point donné $z\sb 0\in \Sigma):$ le théorème classique de Kneser-Lewy donne (pour $W\in {\cal C}\sp 2)$ une condition suffisante pour l'existence d'un tel prolongement. L'Auteur propose maintenant une condition suffisante, de nature géométrique (qui a, sur celle de Kneser-Lewy, l'avantage d'être satisfaite si $\Sigma =\partial \Omega):$ en posant ${\bbfC}\sp n={\bbfC}\sp q\times {\bbfC}\sp{n-q}$ avec $1\le q\le n-1$, on suppose qu'il existe des domains bornés A dans ${\bbfC}\sp q$, B dans ${\bbfC}\sp{n-q}$, tels que (1) $\Sigma =(A\times B)\cap \partial \Omega$; (2) (A$\times B)\cap \Omega$ et (A$\times B)\cap C{\bar \Omega}$ sont connexes; (3) $\forall t\in B$, la coupe $\{$ $s\in A:$ (s,t)$\in {\bar \Omega}\}$ est compacte et, pour un ensemble non vide de t, elle est vide. Cette condition généralise la q-pseudoconvexité, car elle est réalisée en particulier si, $\Omega$ étant défini au voisinage de $z\sb 0$ par $\rho >0$ avec $\rho\in {\cal C}\sp 2$, la forme de Levi de $\rho$ au point $z\sb 0$, restreinte à l'hyperplan complexe tangent en $z\sb 0$ à $\Sigma$, a au moins q valeurs propres $<0$.
[M.Hervé]

MSC 2000:: *32F10 $q$-convexity, etc.
32A10 Holomorphic functions (several variables)

Keywords: existence of holomorphic functions

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	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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