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Topological fields and near valuations. (English) Zbl 0702.12003

Eine anspruchsvolle Darstellung, die den verfügbaren Seitenumfang zu nutzen weiß, die aber andererseits auch gut lesbar und verständlich in das Stoffgebiet einführt, Leser mit unterschiedlicher Interessenlage anspricht und auch Kennern der Materie wertvolle Aspekte und auch neue Resultate vermittelt. Vorausgesetzt werden nur die üblichen Grundkenntnisse in Topologie und Algebra. Speziellere Hilfsmittel sind in zwei Anhängen “Topologische Gruppen” und “Geordnete Gruppen und Körper” zusammengestellt, so daß das Buch ohne langatmige Vorbereitungen direkt mit der eigentlichen Thematik einsetzt, die in zwei Abschnitte aufgeteilt ist: “Topologische Körper” und “Bewertete Körper”. Dabei bezieht sich der zweite Abschnitt überwiegend auf die topologischen Gesichtspunkte der Bewertungstheorie.
Ausgegangen wird von einem recht allgemeinen Bewertungsbegriff. Eine “near valuation” ist eine Abbildung v: \(K\to G\cup \{0\}\) eines Körpers K in eine durch 0 erweiterte multiplikative gerichtete Gruppe G mit folgenden Eigenschaften: \(v(x)=0\leftrightarrow\) \(x=0\); \(v(xy)=v(x)\cdot v(y)\); v(x),v(y)\(\leq g\to\) \(v(x+y)\leq \lambda g\) mit einem von x,y unabhängigen Dominator \(\lambda\in G\); \(v(-1)=1\). Im Fall einer total geordneten Wertgruppe hat man es dann mit einer Bewertung zu tun. Die allgemeine Begriffsbildung hat bisweilen Beweisvarianten zur Folge und führt auch zu manchen allgemeineren, die Hintergründe beleuchtenden Ergebnissen. Die Darstellung verbindet in ausgewogener Weise die Vermittlung eines ausgezeichneten Überblicks über die wesentlichen Leitlinien der Theorien mit dem Eingehen auf markante Spezialergebnisse. Hervorzuheben sind besonders die zahlreichen instruktiven und vollständig durchgeführten Beispiele, die nicht nur das Verständnis unterstützen, sondern vielfach auch richtungweisend sind.
Der erste Abschnitt gliedert sich in elf Paragraphen: Introduction, valuations and other examples, the lattice of ring topologies, locally bounded fields, normed fields, completeness, embedding and extension, existence of field topologies, connected fields, disconnected fields, linear fields.
Der zweite Abschnitt umfaßt folgende fünf Paragraphen: absolute values, places, vector spaces and strictly minimal fields, extensions of valuations, characterizations.
Bei knappem, aber treffendem Stil sind doch die meisten Beweise auch in Einzelheiten durchgeführt. Abgerundet wird das Buch durch ein umfangreiches Literaturverzeichnis.
Reviewer: H.-J.Kowalsky

MSC:

12Jxx Topological fields
12-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to field theory
12-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to field theory
16W80 Topological and ordered rings and modules
12J20 General valuation theory for fields
12J05 Normed fields
12J10 Valued fields
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