Simple Search

Query:

Enter a query and click »Search«...

Format:

Display: entries per page entries

Zbl 0685.10023
Cusick, Thomas W.; Flahive, Mary E.
(Gbur, M.E.)
The Markoff and Lagrange spectra. (English)
[B] Mathematical Surveys and Monographs, 30. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS). ix, 97 p. {\$} 42.00 (1989). ISBN 0-8218-1531-8

Die vorliegende Monographie gibt einen genauen und umfassenden Einblick in die Theorie des Markoff- und des Lagrangespektrums. Die Verfasser haben in jüngerer Zeit selbst prominente Beiträge zur Auflärung der Struktur der Spektren geleistet und in das Werk eingearbeitet, welches dank der stark vereinheitlichenden und ökonomischen Darstellung auch als Lehrbuch ausgezeichnet geeignet ist. Bei der peniblen Sichtung der Literatur wurden einige grundsätzliche Fehler identifiziert und, wenn möglich, richtiggestellt. Die Behandlung der zahlreichen analogen Approximationsspektren wurde konsequent ausgeklammert. Hier wäre eine ebenso kompetente Aufarbeitung wünschenswert. \par In den ersten Kapiteln werden Definitionen und klassische Resultate angegeben. Jeder zweifach unendlichen Folge $A=(a\sb i)$, $i\in {\bbfZ}$, von natürlichen Zahlen $a\sb i$ ordne man die Zahlen $\lambda\sb i(A)=a\sb i+1/(a\sb{i+1}+1/(a\sb{i+2}+...]+1/(a\sb{i-1}+1/(a\sb{i- 2}+$...] zu und betrachte die Werte $L(A)=\limsup \{\lambda\sb i(A)\}$ bzw. $M(A)=\sup \{\lambda\sb i(A)\}$. Die Menge aller hierbei auftretenden Werte wird als Lagrangespektrum L bzw. Markoffspektrum M bezeichnet. Über eine Deutung dieser Werte als Minima indefiniter binärer quadratischer Formen erscheinen die Spektren auch als Untersuchungsgegenstand der Geometrie der Zahlen [{\it P. M. Gruber} und {\it C. G. Lekkerkerker}, Geometry of numbers (1987; Zbl 0611.10017)]. Unterhalb von 3 stimmen L und M überein und bestehen dort aus der sogenannten Markoff-Folge, einer Folge isolierter Werte, die sich bei 3 häufen. \par Sodann werden die Beziehungen der Spektren untereinander sowie Struktursätze und Verfeinerungen des zentralen Resultats $L\subset M$, $L\ne M$, angegeben. Bekanntlich enthält L (und damit M) oberhalb eines (heute explizit bekannten) Wertes alle reellen Zahlen. Die Frage ist eng mit der Struktur von Summen von Cantormengen verknüpft. Hier werden grundlegende Ergebnisse des ersten Autors beschrieben. \par Ein eigenes Kapitel beschäftigt sich mit der Identifizierung von maximalen Lücken in beiden Spektren, wofür beide Autoren wesentliche Hilfsmittel entwickelt haben. Es folgt ein Abriss der metrischen Theorie von Teilen des unteren Spektrums. Nach ersten Ergebnissen um 1940 von I. J. Good und den Anstössen, die C. A. Rogers mit seinem Buch ``Hausdorff measures'' 1970 gegeben hat, sind die Namen J. R. Kinney und T. S. Pitcher, sowie neueste aufwendige Untersuchungen von R. Bumby hervorzuheben. \par Im letzten Kapitel schliesslich werden alternative Zugänge zu den Spektren behandelt, die von der Gruppe $\Gamma =SL(2,{\bbfZ})$ ausgehen. So baute P. J. Nicholls die Methode der Fordkreise aus. Eine andere Charakterisierung der Markoff-Folge beruht auf einer bestimmten Untergruppe von $\Gamma$. Interessante und ausbaufähige Querverbindungen zur algebraischen Geometrie stammen von H. Cohn.
[G.Ramharter]

MSC 2000:: *11J04 Homogeneous approximation to one number
11J70 Continued fractions and generalizations
11H50 Minima of forms
11-02 Research monographs (number theory)
11K16 Normal numbers, etc.

Keywords: approximation spectra; Markoff spectrum; Lagrange; spectrum; minima of indefinite binary quadratic forms; sums of; Cantor sets; maximal gaps; metric theory of continued fractions

Citations: Zbl 0198.380; Zbl 0611.10017

Cited in: Zbl 1231.11072 Zbl 0880.11050

Comment on this Item PDF MathML XML ASCII DVI PS BibTeX Online Ordering

	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

Simple Search

Zentralblatt MATH Berlin [Germany]