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Boundedness of approximations in summation of accretive operators. (English) Zbl 0652.47034

Zur Lösung von \(y\in (I+A+B)(x)\), (y gegeben, x gesucht), wobei I die Identität und A, B mehrwertige accretive Operatoren auf einem Banachraum X sind, kann man die Lösungen \(u_{\lambda_ 1}\) von \(y\in (I+A+B_{\lambda})(u_{\lambda})\) heranziehen. Dabei ist \(B_{\lambda}=\lambda^{-1}(I+(I+\lambda B)^{-1})\) die Yosida- Approximation von B für \(\lambda\in (0,\epsilon)\). Dabei muß vorausgesetzt werden, daß \(B_{\lambda}u_{\lambda}\) für \(\lambda\in (0,\epsilon)\) beschränkt ist.
Die Arbeit untersucht nun die umgekehrte Frage: Unter welchen Voraussetzungen ist \(B_{\lambda}u_{\lambda}\) beschränkt (wobei die Lösbarkeit der obigen Relation angenommen wird). Genauer: Es sei X ein reeller Banachraum, A,B:X\(\to 2\) X seien mehrwertige m-accretive Operatoren, d.h. A, B sind accretiv, und es sei \(R(I+\lambda A)=X\), \(R(I+\lambda B)=X\) für \(\lambda\in (0,\epsilon)\) \((R=Range).\)
Definition: Die Dualabbildung \(J:X\to 2^{X\quad *}\) erfüllt die Bedingung (P), wenn zu jedem \(c\in X\) ein K(c)\(\in {\mathbb{R}}\) existiert mit: \[ (a-b,j'a-J'b)\leq (c,J'a-J'b)\Rightarrow \| a-b\| \leq K(c), \] wobei J’a\(\in Ja\), J’b\(\in Jb\) beliebig gewählt sind.
Theorem 2.1: Ist (P) erfüllt, sowie \(y\in R(I+A+B)\) und \(y\in (I+A+B_{\lambda})u_{\lambda}\), so ist \(_{\lambda}u_{\lambda}\) beschränkt für \(\lambda\in (0,\epsilon)\). - Die sperrige Bedingung (P) wird auf andere zurückgeführt. Z.B. ist (P) erfüllt, wenn J und \(J^{-1}\) lipschitzstetig sind.
Die Frage nach Gegenbeispielen \((bB_{\lambda}u_{\lambda}\) unbeschränkt unter obigen Bedingungen) ist eigentümlicherweise ab Dimension 3 ungelöst. Für Dimension 2 wird gezeigt, daß keine Gegenbeispiele existieren. - Schließlich wird die Konvergenz \(u_{\lambda}\to x\) für \(\lambda\) \(\to 0\) unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen bewiesen, d.h. die Lösung x wird durch \(u_{\lambda}\) beliebig gut approximiert.
Reviewer: F.Wille

MSC:

47H06 Nonlinear accretive operators, dissipative operators, etc.
47H07 Monotone and positive operators on ordered Banach spaces or other ordered topological vector spaces
47J05 Equations involving nonlinear operators (general)
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