Simple Search

Query:

Enter a query and click »Search«...

Format:

Display: entries per page entries

Zbl 0628.32001
Lang, Serge
Introduction to complex hyperbolic spaces. (English)
[B] New York etc.: Springer-Verlag. VIII, 271 p.; DM 118.00 (1987). ISBN 0-387-96447-9

Analytische Teilmengen eines komplexen Raumes lassen sich über niedrigerdimensionale Hindernisse zu analytischen Mengen fortsetzen. Dem entspricht als Spezialfall die Möglichkeit der Fortsetzung holomorpher (meromorpher) Abbildungen über niedrigerdimensionale Hindernisse hinweg. Im Falle höherdimensionaler Hindernisse kann das Verhalten der Mengen bzw. Abbildungen in der Nähe der Hindernisse sehr wild sein, es sei denn, man hat zusätzliche Informationen über den Raum oder über die fortzusetzende analytiche Menge (z.B. endliches Volumen); im Falle von Abbildungen leisten gewisse Eigenschaften der Hyperbolizität des Bildraumes das Gewünschte: Das Streuen von analytischen Mengen, vor allem von Abbildungen in der Nähe von Hindernissen heisst ``Wertverteilung''. Die Hyperbolizität des Bildraumes garantiert dabei oft einigermassen ``übersichtliches'' Verhalten in der Nähe der Hindernisse. Der Kern unterschiedlicher Definitionen der Hyperbolizität liegt in der Eigenschaft, dass holomorphe Abbildungen in ``hyperbolische'' Räume abstandsverkürzend sind. Das ermöglicht z.B. die Anwendung des Satzes von Ascoli. \par Den klassischen Fall der Dimension 1 beschreibt die sogenannte Wertverteilungslehre von Nevanlinna mit ihren zwei Hauptsätzen. \par Im vorliegenden Band geht es um Abbildungen (bzw. Familien von Abbildungen) der Art $M\setminus A \to X\subset Y$ und deren Verhalten in der Nähe von $A\times \bar X\cup M\times (\bar X\setminus X)$. Klassischer Spezialfall: $M=D\subset {\bbfC}\sp 1$ Kreisscheibe oder $M={\bbfC}\sp 1$, $A=\{0\}$, oder $\emptyset$, $X\subset {\bbfC}$, $Y={\bbfP}\sp 1$ (Nevanlinnasche Wertverteilung, Picard's Satz). Die Verallgemeinerungen betreffen vor allem folgende Situationen: M wie oben, $Y={\bbfP}\sp n$, $Y\setminus X$ gewisse Hyperebenenkonstellationen. Die hierher gehörenden Resultate sind oft klassisch (H. Cartan's Dissertation, A. Bloch) und fussen u.a. auf verallgemeinerten Nevanlinnaschen Hauptsätzen (H. Cartan's Dissertation, A. Bloch's Arbeit, $\sim$ 1926), bzw. auf noch älteren Sätzen (E. Borel, $\sim$ 1887). Der Autor stellt Klassisches in den Kontext neuer Sichtweiten, Resultate und Techniken (von Fujimoto, Green, Kiernan-Kobayashi u.a.), und führt in seiner neuen Aufarbeitung Klassisches und Neueres ein kleines Stück weiter. 1) Auf diesem Weg fallen mehr offene als gelöste Probleme ab, die sorgfältig aufgelistet werden. Das Buch möchte so interessante weitere Forschungsarbeit in aussichtsreichen Richtungen anregen und das Interesse an einer klassischen Arbeit wie der von H. Cartan neu wecken (als Ausgang zu den noch ausstehenden Verallgemeinerungen des 2. Hauptsatzes von Nevanlinna) samt den für manche Zweige wichtigen Konsequenzen. 2) Der Autor hat hier die Diophantische Geometrie im Auge (Fermat, Mordell). Wo immer möglich, versucht er Parallelen/Analogien der hyperbolischen Analysis zu gewissen Teilen der algebraischen Geometrie herzustellen (z.B. seine Vermutung: Hyperbolisch $\sim Endlichkeit$ rat. Punkte). Er bedauert zurecht, dass aus gegenseitigem Nichtverstehen heraus (analytisch- geometrisch$\sim algebraisch)$ verwandte Formeln oft zig Jahre unverstanden nebeneinander standen (Cartan $\sim Weil$, Artin$\sim Hecke)$. 3) Zentral für diesen Band ist die Kobayashi-Hyperbolizität, die aus Gründen der Anwendung mit einigen weiteren verglichen wird (z.B. Brody-Hyperbolizität). Insbesondere die differentialgeometrische Sicht wird betont. Ausser in einer Kapitelüberschrift vermeidet der Autor das im Komplexen verbreitete pseudodifferentialgeometrische Reden (von Krümmung z.B.), das er für eher irreleitend hält. Zu begrüssen wäre, würden sich solche Umpolungen durchsetzen (der Autor ist sich da nicht sicher). \par Das Buch ist klar geschrieben, i.w. selfcontained; auch Teile sind getrennt für sich lesbar. Zur Einführung, vor allem auch zur Anregung für einen gewissen Forschungsbereich, sollte es manchen Interessenten finden.
[K.Spallek]

MSC 2000:: *32Q45 Hyperbolic and Kobayashi hyperbolic manifolds
32-02 Research monographs (several complex variables)
32-01 Textbooks (several complex variables)
32H30 Value distribution theory in higher dimensions
32J25 Transcendental methods of algebraic geometry
30D35 Distribution of values (one complex variable)
14A10 Varieties
53C55 Complex differential geometry (global)

Keywords: complex hyperbolic spaces; value distribution; Kählerian; divisor; algebraic variety; diophantine geometry; Picard; Nevanlinna

Cited in: Zbl 0909.30023 Zbl 0818.32008 Zbl 0767.32015 Zbl 0742.14018

Comment on this Item PDF MathML XML ASCII DVI PS BibTeX Online Ordering

	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

Simple Search

Zentralblatt MATH Berlin [Germany]